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    专题22.9 二次函数中的十二大存在性问题-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)
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    人教版22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后测评

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    这是一份人教版22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后测评,文件包含专题229二次函数中的十二大存在性问题人教版原卷版docx、专题229二次函数中的十二大存在性问题人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共159页, 欢迎下载使用。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc21796" 【题型1 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc21796 \h 1
    \l "_Tc17023" 【题型2 二次函数中直角三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc17023 \h 3
    \l "_Tc22730" 【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc22730 \h 5
    \l "_Tc18687" 【题型4 二次函数中全等三角形的存在性问题】 PAGEREF _Tc18687 \h 7
    \l "_Tc13453" 【题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题】 PAGEREF _Tc13453 \h 8
    \l "_Tc32016" 【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】 PAGEREF _Tc32016 \h 11
    \l "_Tc756" 【题型7 二次函数中矩形的存在性问题】 PAGEREF _Tc756 \h 13
    \l "_Tc4142" 【题型8 二次函数中正方形的存在性问题】 PAGEREF _Tc4142 \h 15
    \l "_Tc5178" 【题型9 二次函数中面积问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc5178 \h 17
    \l "_Tc11160" 【题型10 二次函数中线段问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc11160 \h 18
    \l "_Tc18152" 【题型11 二次函数中角度问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc18152 \h 20
    \l "_Tc11501" 【题型12 二次函数中最值问题的存在性问题】 PAGEREF _Tc11501 \h 22
    【题型1 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
    【例1】(2023春·甘肃张掖·九年级校考期中)如图甲,直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)当0(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
    【变式1-1】(2023秋·广西贵港·九年级统考期末)如图,抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A−2,0和点B,与y轴交于点C0,8,点P为直线BC上方抛物线上的动点,连接CP,PB,直线BC与抛物线的对称轴l交于点E.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求△BCP的面积最大值;
    (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点.是否存在点M,使得△BEM为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式1-2】(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0,B4,0两点,与y轴交于点C,顶点为D.点P是直线BC上方抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点Q.

    (1)求抛物线的表达式;
    (2)求线段PQ的最大值;
    (3)如图2,过点P作x轴的平行线交y轴于点M,连接QM.是否存在点P,使得△PQM为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式1-3】(2023•沙坪坝区校级模拟)如图1,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)交x轴于点A(﹣1,0),点B(4,0),交y轴于点C.连接BC,过点A作AD∥BC交抛物线于点D(异于点A).
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴,交AD于点E,过点E作EG⊥BC于点G,连接PG.求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标;
    (3)如图2,将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)水平向右平移32个单位,得到新抛物线y1,在y1的对称轴上确定一点M,使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形,请写出所有符合条件的点M的坐标,并任选其中一个点的坐标,写出求解过程.
    【题型2 二次函数中直角三角形的存在性问题】
    【例2】(2023秋·四川广安·九年级校考期中)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−3,2),B(0,−2),其对称轴为直线x=52,C(0,12)为y轴上一点,直线AC与抛物线交于另一点D.

    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E,使得△ADE的面积最大,并求出最大面积;
    (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得△ADF是直角三角形?如果存在,求点F的坐标;如果不存在,请说明理由.
    【变式2-1】(2023秋·辽宁盘锦·九年级校考期中)如图,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的横坐标;
    (3)点P是对称轴上的一动点,是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的P点坐标;不存在,说明理由.
    【变式2-2】(2023春·广东梅州·九年级校考期中)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(−2,5),B(−1,0),与x轴交于点C.
    (1)求这个二次函数的解析式;
    (2)点P直线AC下方抛物线上的一动点,求△PAC面积的最大值;
    (3)在抛物线对称轴上是否存在点Q,使△ACQ是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
    【变式2-3】(2023春·甘肃金昌·九年级统考期中)平面直角坐标系中,抛物线y=a(x−1)2+92 与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C.
    (1)求抛物线的解析式,并直接写出点A,C的坐标;
    (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BCP是直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
    (3)如图,点M是直线BC上的一个动点,连接AM,OM,是否存在点M使AM+OM最小,若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由;
    【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
    【例3】(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)综合与探究:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A−1,0和点B4,0,与y轴交于点C,过动点D0,m作平行于x轴的直线l,直线l与抛物线y=ax2+bx−2相交于点E,F.

    (1)求抛物线的表达式;
    (2)求m的取值范围;
    (3)直线l上是否存在一点P,使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
    【变式3-1】(2023秋·福建漳州·九年级校考期中)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0,与y轴交于点A,其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的角平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值;
    (3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式3-2】(2023秋·湖南湘西·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=−x+3交x轴于点B,交y轴于点C,直线AD交x轴于点A,交y轴于点D,交直线BC于点E−12,72,且CD=1.
    (1)求直线AD解析式;
    (2)点P从B点出发沿线段BA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动(点P不与A,B两点重合),设点P的运动时间为t,则是否存在t,使得△AEP为等腰直角三角形?若存在,请求出t的值,若不存在,请说明理由;
    (3)在(2)的条件下,点P出发的同时,点Q从C点出发沿射线CO方向运动,当点P到达终点时,点Q也停止运动,连接AQ,PQ,设△APQ的面积为S,S与t的函数关系式为S=32t2−12t+2120≤t<1at−1t−71【变式3-3】(2023秋·北京通州·九年级统考期末)如图,抛物线y1=ax2−2x+c的图象与x轴交点为A和B,与y轴交点为D0,3,与直线y2=−x−3交点为A和C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在直线y2=−x−3上是否存在一点M,使得△ABM是等腰直角三角形,如果存在,求出点M的坐标,如果不存在请说明理由.
    (3)若点E是x轴上一个动点,把点E向下平移4个单位长度得到点F,点F向右平移4个单位长度得到点G,点G向上平移4个单位长度得到点H,若四边形EFGH与抛物线有公共点,请直接写出点E的横坐标xE的取值范围.
    【题型4 二次函数中全等三角形的存在性问题】
    【例4】(2023·陕西咸阳·统考三模)如图,抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A、B两点,抛物线的顶点为C,对称轴为直线l,l交x轴于点D.

    (1)求点A、B、C的坐标;
    (2)点P是抛物线上的动点,过点P作PM⊥y轴于点M,点N在y轴上,且点N在点M上方,是否存在这样的点P、N,使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等,若存在,请求出点P、N的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式4-1】(2023·甘肃陇南·统考一模)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0,B两点,与y轴交于点C0,−3.

    (1)求抛物线的函数解析式;
    (2)已知点Pm,n在抛物线上,当−1≤m<3时,直接写出n的取值范围;
    (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M,点D坐标为2,3,试问在该抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABD全等?若存在,请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式4-2】(2023·陕西咸阳·统考三模)如图,抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A,B两点,抛物线的顶点为C,对称轴为直线l,l交x轴于点D.

    (1)求点A、B、C的坐标;
    (2)点P是抛物线上的动点,过点P作PM⊥y轴于点M,点N在y轴上,且点N在点M上方,是否存在这样的点P、N,使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等,若存在,请求出点P、N的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式4-3】(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)求点P的坐标;
    (3)求证:CE=EF;
    (4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+22=(2+1)2].
    【题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题】
    【例5】(2023秋·云南临沧·九年级统考期末)如图,抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、B3,0两点,与y轴交于点C.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点D是抛物线上的一点,当△ABD的面积为10时,求点D的坐标;
    (3)点P是抛物线对称轴上的一点,在抛物线上是否存在一点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式5-1】(2023秋·山东东营·九年级校考期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、B3,0两点,与y轴交于点C,连接BC.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点P为线段BC上的一动点(不与B、C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求点P的坐标;
    (3)在(2)的条件下,当△BCM的面积最大时,点D是抛物线的对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点E,使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式5-2】(2023秋·重庆梁平·九年级统考期末)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=−2x2+4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点E,B(E在B的左侧).

    (1)如图2,抛物线的顶点为点Q,求△BEQ的面积;
    (2)如图3,过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F,当点P在何位置时,PD+CF最大?求出最大值;
    (3)在(2)条件下,当PD+CF最大时,将抛物线y=−2x2+4x+6沿着射线AB平移,使得抛物线经过点C,此时得到新抛物y′,点N是原抛物线对称轴上一点,在新抛物线y′上是否存在一点M,使以点A,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请直接写出点M的所有坐标,若不存在,请说明理由.
    【变式5-3】(2023秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末)如图1,抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴正半轴交于点A,B,与y轴正半轴交于点C,且OC=OB=3OA,点D为抛物线的顶点.
    (1)求该抛物线的函数表达式;
    (2)点P为直线BC下方该抛物线上任意一点,点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点,求△PBE面积的最大值;
    (3)如图2,将该抛物线沿射线CB的方向平移22个单位后得到新抛物线y′,新抛物线y′的顶点为D′,过(2)问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y′于点M.在新抛物线y′的对称轴上是否存在点N,使得以点P,D′,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】
    【例6】(2023春·重庆云阳·九年级校联考期中)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点B在点A左侧),与y轴相交于点C(0,3).已知点A坐标为(1,0),△ABC面积为6.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作直线BC的垂线,垂足为点E,过点P作PF∥y轴交BC于点F,求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标:
    (3)如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y′,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点M为直线BC上的一点,点N是平面坐标系内一点,是否存在点M,N,使以点B,D,M,N为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式6-1】(2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C0,−3,点A在原点的左侧,点B的坐标为3,0,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
    (1)求这个二次函数的表达式.
    (2)连接PO、PC,并把△POC沿CO所在直线翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    (3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的面积.
    【变式6-2】(2023秋·广东汕头·九年级统考期末)如图:已知直线l:y=−2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=−x2+bx+c经过点B,且与x轴交于点C(2,0).
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,四边形OAMB的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
    (3)若点P在平面内,点Q在直线AB上,平面内是否存在点P使得以O,B,P, Q为顶点的四边形是菱形.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式6-3】(2023秋·广东汕头·九年级统考期末)如图:已知直线l:y=−2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=−x2+bx+c经过点B,且与x轴交于点C(2,0).
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,四边形OAMB的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
    (3)若点P在平面内,点Q在直线AB上,平面内是否存在点P使得以O,B,P, Q为顶点的四边形是菱形.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【题型7 二次函数中矩形的存在性问题】
    【例7】(2023秋·浙江湖州·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
    (1)求点A与点B的坐标;
    (2)若a=13,点M是抛物线上一动点,若满足∠MAO不大于45°,求点M的横坐标m的取值范围.
    (3)经过点B的直线l:y=kx+b与y轴正半轴交于点C.与抛物线的另一个交点为点D,且CD=4BC.若点P在抛物线对称轴上,点Q在抛物线上,以点B,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
    【变式7-1】(2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模)已知抛物线y=ax2+bx−4a≠0交x轴于点A4,0和点B−2,0,交y轴于点C.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图,点P是抛物线上位于直线AC下方的动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线,交直线AC于点D,交x轴于点E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标及PD+PE最大值.
    (3)在抛物线上是否存在点M,对于平面内任意点N,使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形,若存在,请直接写出M、N的坐标,不存在,请说明理由.
    【变式7-2】(2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中)如图,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点,交y轴于点C.
    (1)求抛物线的解析式和对称轴.
    (2)若R为第一象限内抛物线上点,满足SΔRAC=12SΔABC,求R的坐标.
    (3)若点P在抛物线的对称轴上,点Q是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形,若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
    【变式7-3】(2023秋·广东江门·九年级校考期末)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx−2a≠0交x轴于A−1,0、B两点,交y轴于点C,其对称轴为x=1.5,
    (1)求该抛物线的函数解析式;
    (2)P为第四象限内抛物线上一点,连接PB,过点C作CQ∥BP交x轴于点Q,连接PQ,求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标.
    (3)在(2)的条件下,将抛物线y=ax2+bx−2a≠0向右平移经过点Q,得到新抛物线,点E在新抛物线的对称轴上,是否在平面内存在一点F,使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
    【题型8 二次函数中正方形的存在性问题】
    【例8】(2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点P为抛物线上的动点.

    (1)求该抛物线的函数表达式;
    (2)点D为直线y=x上的动点,当点P在第四象限时,求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标;
    (3)已知点E为x轴上一动点,点Q为平面内任意一点,是否存在以点P,C,E,Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形,若存在,请直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
    【变式8-1】(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图,已知拋物线y=−x2+2x+c与x轴交于点A3,0,B与y轴交于点C.

    (1)求c的值及该抛物线的对称轴;
    (2)若点D在直线AC上,点E是平面内一点.是否存在点E,使得以点A,B,D,E为顶点的四边形为正方形?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式8-2】(2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测)如图,二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.连接BC.点P是抛物线第一象限内的一个动点,设点P的横坐标为m,过点P作直线PD⊥x轴于点D.交BC于点E.过点P作BC的平行线,交y轴于点M.

    (1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线BC的函数表达式;
    (2)在点P的运动过程中,求使四边形CEPM为菱形时,m的值;
    (3)点N为平面内任意一点,在(2)的条件下,直线PM上是否存在点Q使得以P,E,Q,N为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式8-3】(2023·江西赣州·统考一模)已知二次函数C1:y=mx2-2mx+3(m≠0).
    (1)有关二次函数C1的图象与性质,下列结论中正确的有______.(填序号)
    ①二次函数C1的图象开口向上;
    ②二次函数C1的图象的对称轴是直线x=1;
    ③二次函数C1的图象经过定点(0,3)和(2,3);
    ④函数值y随着x的增大而减小.
    (2)当m=1时,①抛物线C1的顶点坐标为______;
    ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2,则抛物线C2的表达式为______;
    (3)设抛物线C1与y轴相交于点E,过点E作直线l∥x轴,与抛物线C1的另一交点为F,将抛物线C1沿直线l翻折,得到抛物线C3,抛物线C1,C3的顶点分别记为P,Q.是否存在实数m,使得以点E,F,P,Q为顶点的四边形为正方形?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
    【题型9 二次函数中面积问题的存在性问题】
    【例9】(2023秋·四川广安·九年级统考期末)如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过A1,0,B3,0两点,交y轴于点C.

    (1)求抛物线的函数解析式.
    (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△ACM的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    (3)如图2,连接BC,若在BC下方的抛物线上存在一点P,使得S△BCP=12S△BCA,请直接写出点P的横坐标.
    【变式9-1】(2023春·江西九江·九年级校考期中)如图,已知二次函数L1:y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,A点坐标(−1,0),B点坐标(3,0),与y轴交于点C,直线L2:y=x+n经过点A.

    (1)求二次函数L1的表达式及顶点P的坐标;
    (2)二次函数L3与二次函数L1关于X轴对称,直线L2与二次函数L3相交于A、D两点.
    ①直接写出二次函数L3的表达式;
    ②求出D点的坐标;
    ③在直线L2上半部分的二次函数L3上,是否存在一点M,使得△AMD的面积最大?若存在,请求出M坐标,并求出最大面积.
    【变式9-2】(2023春·山东东营·九年级东营市实验中学校考期中)如图,抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0,4,与x轴交于A−2,0,点B4,0.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点M是抛物线上的一动点,且在直线BC的上方,当S△MBC取得最大值时,求点M的坐标;
    (3)在抛物线上是否存在点P,使三角形ABP的面积为12?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式9-3】(2023秋·福建泉州·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为E1,4的抛物线y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A,B两点,与y轴的交点为C0,3,P是抛物线对称轴右侧图象上的一点,且在x轴的上方.
    (1)求此抛物线的解析式;
    (2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D,当BD−CD取得最大值时,求点P的坐标;
    (3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F,连接PC,PE,PF,记△PCF,△PEF的面积分别为S1,S2,判断2S1+S2是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
    【题型10 二次函数中线段问题的存在性问题】
    【例10】(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图1,抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−8,0,C2,0两点,与y轴交于点D0,4.点E是第二象限内抛物线上的一个动点,设点E的横坐标为n,过点E作直线EB⊥x轴于点B,作直线AD交EB于点F.

    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)如图1,当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时,求点E的坐标;
    (3)如图2,连接CD,过点E作直线l∥CD,交y轴于点H,连接BH.试探究:在点E运动的过程中,是否存在点E,使得FD=BH,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式10-1】(2023春·四川南充·九年级统考期中)如图,平面直角坐标系中的Rt△AOB和Rt△COD全等,直角边OB、OD在x轴上.已知点C的坐标为4,2,过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F,抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
    (1)写出点A的坐标并求该抛物线的函数解析式;
    (2)点G为抛物线上位于线段OC所在可直线上方部分的一动点,求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标;
    (3)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM的边AM与边BP相等?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式10-2】(2023秋·云南曲靖·九年级统考期末)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A−1,0,B3,0两点,与y轴交于点C,连接BC.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在抛物线上是否存在点M,使得B、C两点到直线AM的距离相等,如果存在,求出点M的坐标,如果不存在,请说明理由;
    (3)点P为x轴上一动点,以P为旋转中心,把线段BC逆时针旋转90°,得到线段GH,其中点B的对应点为点G,当抛物线的对称轴刚好经过GH中点时,求此时点P的坐标.
    【变式10-3】(2023秋·安徽阜阳·九年级校考期末)如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=−2与x轴交于点C,直线y=−2x+1经过抛物线上一点B2,m,且与y轴.直线x=−2分别交于点D、E.
    (1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
    (2)①判断△CBE的形状,并说明理由;②判断CD与BE的位置关系;
    (3)若Px,y是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE?若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【题型11 二次函数中角度问题的存在性问题】
    【例11】(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A,B4,0两点,与y轴交于点C,点D3,4在抛物线上,点P是抛物线上一动点.
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)如图1,连接OD,若OP平分∠COD,求点P的坐标;
    (3)如图2,连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+∠ACO=45°?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式11-1】(2023秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末)如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M,使△MBC的面积为27?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
    (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式11-2】(2023春·江苏盐城·九年级统考期末)如图,抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A−4,0,C0,−2.
    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)点E是线段AC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDAF的面积最大?求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标;
    (3)在y轴上是否存在点P,使得∠OAP+∠OAC=60°?若存在,请直接写出P点的坐标,若不存在,请说明理由.
    【变式11-3】(2023秋·浙江湖州·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x−2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=12x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为点B,点P为抛物线上的一个动点.
    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)当△ACP的面积与△ABC的面积相等时,求点P的坐标;
    (3)是否存在点P,使得∠ACP=∠ABC−∠BAC,若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
    【题型12 二次函数中最值问题的存在性问题】
    【例12】(2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期中)如图,已知抛物线y=38x2−34x−3与x轴的交点为点A、D(点A在点D的右侧),与y轴的交点为点C.
    (1)直接写出A、D、C三点的坐标;
    (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MD+MC的值最小,并求出点M的坐标;
    (3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式12-1】(2023秋·浙江宁波·九年级校考期中)对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为“伴随”函数.例如:一次函数y=x−3,它的“伴随”函数为y=−x+3x<0x−3x≥0.
    (1)已知点M−2,1在一次函数y=−mx+1的“伴随”函数的图象上,求m的值.
    (2)已知二次函数y=−x2+4x−12.
    ①当点Aa,32在这个函数的“伴随”函数的图象上时,求a的值.
    ②当−3≤x≤3时,函数y=−x2+4x−12的“伴随”函数是否存在最大值或最小值,若存在,请求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由.
    【变式12-2】(2023秋·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考期中)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标为−3,0,与y轴交于点C,点D−2,−3在抛物线上;

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAD周长最小,若存在,求出P点的坐标及△PAD周长的最小值;
    (3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点,过M作y轴的平行线与线段AC交于点N,求线段MN的最大值.
    【变式12-3】(2023春·湖南长沙·九年级校考期末)已知抛物线y=a−1x2+2a−7x+a2−4(a为常数,a>0)的图象经过原点,点A在抛物线上运动.

    (1)求a的值.
    (2)若点P8−t,s和点Qt−4,r都是这个抛物线上的点,且有s>r,求t的取值范围.
    (3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,过点D作DC⊥x轴,垂足于点C,试问四边形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值和对应的x值,如果不存在,请说明理由.
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