2023-2024学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 且

3.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

4.  抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于抛物线，下列说法错误的是(    )

A. 开口向上 B. 与轴只有一个交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大

6.  若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了辆车，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.  如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于，连接，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  非课改已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10.  若二次函数的图象过，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：；；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，个结论：
；
；
；
；
当数有最大值；
当时，函数的值随的增大而减小；
其中正确的序号有(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式______ ．

14.  如图，为的中位线，点在上，且为直角，若，，则的长为______．
 

15.  某服装店原计划按每套元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为______．

16.  如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______．

17.  如图，在中，，，，是边上的动点，，，垂足分别是、，线段的最小值是______ ．

18.  如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解方程：．

20.  本小题分
已知、、满足．
求、、的值；
判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．

21.  本小题分

某校八年级两个班，各选派名学生参加学校举行的“美丽绍兴乡土风情知识”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：

八班：，，，，，，，，，；八班：，，，，，，，，，．

通过整理，得到数据分析表如下：

求表中、的值；

依据数据分析表，有同学说：“最高分在班，班的成绩比班好”，但也有同学说班的成绩更好．请您写出两条支持八班成绩好的理由．

22.  本小题分
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，已知墙长为米，为方便进入，在墙的对面留出米宽的门如图所示，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．苗圃园的面积为平方米，求的值．

23.  本小题分
已知直线经过点，．
求直线的解析式；
若直线与直线相交于点，求点的坐标；
根据图象，写出关于的不等式的解集．

24.  本小题分
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
求这条抛物线的解析式．
一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？

25.  本小题分
综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、．

【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______ ．
【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．
【应用】小宛取出如图所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，不符合题意；
B.是最简二次根式，符合题意；
C.原式，不符合题意；
D.原式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件：有意义的条件为，也考查了分式有意义的条件即分母不为零．
根据题意得到且，即可得到答案．
【解答】
解：在实数范围内有意义，
且，
且．
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：，
所以方程没有实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

4.【答案】 

【解析】解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故选：．
已知抛物线顶点式为常数，，顶点坐标是．
本题考查由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．

5.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的开口向上，故选项A正确，
，故该抛物线与轴只有一个交点，故选项B正确，
对称轴是直线，故选项C正确，
当时，随的增大而增大，故选项D错误，
故选：．
根据题目中的抛物线，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

6.【答案】 

【解析】解：直线经过一、二、四象限，
，，
，
直线的图象经过一、二、三象限，
选项B中图象符合题意．
故选：．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．

7.【答案】 

【解析】解：数据出现了次，最多，
故众数为，
共个数，
排序后位于第和第位的数均为，
故中位数为，
故选：．
根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

8.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是关键．
由四边形是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
．
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：根据条件知：
，，
，
即，
所以，得，
解得．
故选：．
由于方程有两个不相等的实数根可得，由此可以求出的取值范围，再利用根与系数的关系和，可以求出的值，最后求出符合题意的值．
、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
、一元二次方程的根与系数的关系为：，．

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
点、、都在二次函数的图象上，
而三点横坐标离对称轴的距离按由远到近为：
、、，

故选：．
二次函数抛物线向下，且对称轴为根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．

11.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，正确；
四边形是菱形，
，
，
，正确；
四边形是菱形，
，
，
，
，正确；
，
，
，
，
是等边三角形，
平分，
，正确．
综上所述：正确的有，共个．
故选：．
由两组对边平行证明四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形，得出，则，由角平分线定义得出，则，证出，则，，正确；由含度的直角三角形的性质即可判断正确；由菱形的性质得出，，由，则，正确；由得出，由得出，则是等边三角形，由根据三线合一即可判断正确；即可得出结果．
本题考查了梯形，平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线定义、等边三角形的判定、含角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握菱形的性质与含角直角三角形的性质是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴为直线，
，
图象与轴的交点在轴的上方，
，
，
说法错误，
，
，
，
说法正确，
由图象可知点的对称点为，
当时，，
当时，，
，
说法错误，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
说法正确；
开口向下，对称轴为，
当时，有最大值，
说法正确，
开口向下，对称轴为，
当时，函数的值随的增大而增大，
错误，
正确的为，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式可以为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用顶点式写出二次函数解析式即可．
此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式分析是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：为的中位线，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设每次降价率为，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设每次降价率为，根据原价及警告过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】或 

【解析】解：抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
对应抛物线在轴下方
或．
故答案为：或．
根据抛物线的对称轴及与轴的交点求出抛物线与轴的另一个交点，通过图象即可求解．
本题考查二次函数和不等式，二次函数的性质，将转化为抛物线在轴的下方是解决问题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的长最短，
根据三角形的面积公式得：，
，
，
即的最小值是．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理求出，根据矩形的判定得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，求出的最小值即可．
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，三角形的面积，垂线段最短的应用，能求出是解此题的关键，注意：垂线段最短．

18.【答案】 

【解析】解：是正方形，
与轴的夹角为，
的解析式为，
联立方程组得：，
解得或，
点的坐标是：；
，
，
同理可得：正方形的边长，则，

依此类推，正方形则正方形的边长为，
正方形的对角线长为，
故答案为：．
根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．

19.【答案】解：



；
，
 ，即，
，
，． 

【解析】原式利用二次根式的乘法法则计算，然后合并即可得到结果；
利用配方法求出解即可．
此题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：、、满足．
，，．
解得：，，；

，，，
，
以、、为边能构成三角形，
，
此三角形是直角三角形，
． 

【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；
根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．

21.【答案】解：八班的平均分；
八班的中位数；

八班的平均分高于八班；八班中位数高于八班，故支持八班成绩好． 

【解析】利用平均数，中位数的定义计算所求即可；
从平均分，以及中位数角度考虑，合理即可．
此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

22.【答案】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米，
根据题意得：，
解得：，，
当时，，舍去，
．
答：的值为． 

【解析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为：．

若直线与直线相交于点，
．
解得，
点；

根据图象可得． 

【解析】利用待定系数法把点，代入可得关于、得方程组，再解方程组即可；
联立两个函数解析式，再解方程组即可；
根据点坐标可直接得到答案．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．

24.【答案】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为，过点，
设抛物线的解析式为，
则，
解得，
即这条抛物线的解析式为；
当时，，
货船能顺利通过此桥洞． 

【解析】根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过轴上的点，从而可以设出抛物线的顶点式，将点代入求出，进而求得抛物线的解析式；
把代入函数解析式即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用．

25.【答案】 

【解析】解：线段与之间的数量关系：．
理由：如图，连接，
四边形是菱形，且，
，，
和都是等边三角形，
，，
点是边的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
，
故答案为：．
同意．
理由：如图，连接，
四边形是菱形，且，
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
如图，过点作于，连接，
四边形是菱形，且，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧图中处时，，
或，
由知：≌，
，
或．
线段的长为或．
数量关系：连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明≌即可；
利用菱形的性质和等边三角形的性质证明≌即可；
利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得或，再利用中的结论≌即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形．