2024-2025学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若代数式 xx−1在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )
A. x>0B. x≥0C. x≠0D. x≥0且x≠1
2.数据10，10，x，8的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是( )
A. 10B. 8C. 12D. 4
3.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 1， 3，2B. 1， 2， 2C. 5，12，13D. 1，2， 5
4.下列计算正确的是( )
A. 2 3×3 3=6 3B. 2+ 3= 5
C. 5 5−2 2=3 3D. 2÷ 3= 63
5.当k<0时，一次函数y=kx−k的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.在平面直角坐标系中，直线l经过一、二、三象限，若点(0,a)，(−1,b)，(−3,c)都在直线l上，则下列判断正确的是( )
A. a7.用因式分解法解方程x2−mx−6=0，若将左边因式分解后有一个因式是(x−3)，则m的值是( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
8.用配方法解方程2x2=7x−3，方程可变形为( )
A. (x−72)2=374B. (x−72)2=434C. (x−74)2=116D. (x−74)2=2516
9.如图，直线y=−x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为−2，则关于x的不等式−x+m>nx+4n>0的整数解为( )
A. −1
B. −3
C. −4
D. −5
10.根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为( )
A. y=xB. y=−1x
C. y=34(x−1)2+2D. y=−34(x−1)2+2
11.如图，直线y=23x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为线段OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为( )
A. (−3,0)
B. (−6,0)
C. (−32,0)
D. (−52,0)
12.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若ABAD=23，则3S△BDG=13S△DGF．
其中正确的结论是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若x=3是关于x的方程2x2+ax−6=0的一个根，则a的值是______．
14.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了______cm．
15.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=3，BC=4，则EF的长为______．
16.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为______．
17.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为______．
18.如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 cm．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.解方程：
(1)x2+2x−7=0．
(2)2x2−3x+1=0．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
已知函数y=−(x−1)2+4．
(1)当x= ______时，抛物线有最大值，是______．
(2)当x ______时，y随x的增大而增大．
(3)该函数可以由函数y=−x2的图象经过怎样的平移得到？
(4)该抛物线与x轴交于点______，与y轴交于点______.(写坐标)
(5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．
21.(本小题10分)
已知关于x的方程x2−3x+k=0有两个实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若(x12−2x1)(x22−2x2)=8，求k的值．
22.(本小题12分)
如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE//BD，EB//AC，连接OE，交BC于F．
(1)求证：OE=CB；
(2)如果OC：OB=1：2，OE=2，求菱形ABCD的面积．
23.(本小题12分)
现有一条长40cm的绳子．
(1)怎样围成一个面积为75cm2的矩形？
(2)能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．
(3)能围成的矩形的最大面积是多少？说明理由．
24.(本小题12分)
阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=60°，∠D=95°，∠B≠∠D.求∠B的度数．
问题解决：
(2)如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”．
拓展应用：
(3)如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=∠BCD=60°，∠B=90°，AB=10，AD=8，求对角线AC的长．
25.(本小题14分)
如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(−8,0)，点A的坐标为(−6,0)．
(1)求直线y=kx+6的解析式和点F的坐标；
(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线EF上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为278，并说明理由．
(4)在(3)的条件下，试求一点Q，使以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标，不需证明．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.C
6.C
7.B
8.D
9.B
10.D
11.C
12.C
13.−4
14.2
15.0.5
16.245
17.(40−x)(20+2x)=1200
18.3或6
19.解：(1)x2+2x+1=8，
(x+1)2=8，
∴x(x−3)−2(x−3)=0，
则x+1=±2 2，
∴x+1=2 2或x+1=−2 2，
解得x1=2 2−1，x2=−2 2−1；
(2)∵2x2−3x+1=0，
∴(x−1)(2x−1)=0，
则x−1=0或2x−1=0，
解得x1=1，x2=0.5．
20.(1)1；4；
(2)<1；
(3)∵函数y=−x2的顶点坐标为(0,0)，
∴将函数y=−x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数y=−(x−1)2+4的图象．
(4)(−1,0)和(3,0)；(0,3)．
(5)列表：
描点，连线，该抛物线的图象如图：
21.解：(1)∵关于x的方程x2−3x+k=0有两个实数根，
∴△=b2−4ac=(−3)2−4×1×k≥0，
∴k≤94．
(2)∵x1，x2是方程x2−3x+k=0的根，
∴x1+x2=3，x1x2=k，x12−3x1=−k，x22−3x2=−k．
∵(x12−2x1)(x22−2x2)=8，即(x1−k)(x2−k)=8，
∴x1x2−k(x1+x2)+k2=8，
∴k2−2k−8=0，
解得：k=−2或k=4．
又∵k≤94，
∴k=−2．
22.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵CE//BD，EB//AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形，
∴OE=CB；
(2)解：由(1)知，AC⊥BD，BC=OE=2，
∵OC：OB=1：2，
∴设OC=x，则OB=2x，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2=OC2+OB2，即4=x2+4x2，
解得x=2 55(负值已舍)，
∴CO=2 55，OB=4 55，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=4 55，BD=8 55，
∴菱形ABCD的面积是：12BD⋅AC=165．
23.解：(1)设围成的矩形的长为xcm，则宽为402−x=(20−x)cm，
由题意，得x(20−x)=75，
整理得x2−20x+75=0，
解得x=15或x=5(舍去)，
∴20−x=5，
∴当围成的矩形的长为15cm，宽为5cm时，矩形的面积为75cm2；
(2)不能围成一个面积为101cm2的矩形，理由如下：
设围成的矩形的长为xcm，则宽为402−x=(20−x)cm，
由题意得，x(20−x)=101，
整理得：x2−20x+101=0，
∵Δ=(−20)2−4×101=−4<0，
∴原方程无解，
∴不能围成一个面积为101cm2的矩形；
(3)解：能围成的矩形的最大面积是是100cm2，理由如下：
设围成的矩形的长为xcm，矩形面积为S，则宽为402−x=(20−x)cm，
由题意得，S=x(20−x)=−x2+20x=−(x−10)2+100，
∵−1<0，
∴当x=10时，S最大，最大值为100，
∴能围成的矩形的最大面积是是100cm2．
24.解：(1)∵四边形ABCD是“等对角四边形“，∠B≠∠D，
∴∠C=∠A，
∵∠A=60°，
∴∠C=60°，
∵∠D=95°，
根据四边形内角和定理得，∠B=360°−∠A−∠C−∠D=145°；
(2)在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB+∠A=90°，
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠BCD=90°，
∴∠CED=∠A，
∵∠ACE=90°，∠ADE>90°，
∴∠ACE≠ADE，
∴四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵∠DAB=60°，AD=8，
∴∠ADE=30°，
∴AE=12AD=4，
根据勾股定理得，DE= AD2−AE2=4 3，
∴BE=AB−AE=6，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠B=90°，
∴∠DFB=∠DEB=∠B=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF=BE=6，BF=DE=4 3，
在Rt△DCF中，∠BCD=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DC=2CF，
∴(2CF)2−CF2=DF2，
∴CF=2 3，
∴BC=CF+BF=6 3，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2=4 13．
25.解：(1)∵直线y=kx+6与x轴交于点E(−8,0)，
∴0=−8k+6，
解得k=34，
∴一次函数解析式为y=34x+6，
∴当x=0时，y=6，
∴F(0,6)；
(2)∵点A的坐标为(−6,0)，
∴OA=6，
∵P(x,34x+6)(−8∴S△OPA=12OA⋅yP=12×6×(34x+6)=94x+18(−8(3)∵S△OPA=94x+18(−8∴当△OPA的面积为278时，94x+18=278，
解得x=−132，
把x=−132代入一次函数y=34x+6，
得y=98，
∴点P的坐标为(−132,98)；
(4)由于P(−132,98)，A(−6,0)，O(0,0)，
当以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：
当OA为对角线时，则OA的中点坐标为(−3,0)，PQ的中点坐标也为(−3,0)，
∴Q(12,−98)；
当OP为对角线时，同法可得Q(−12,98)；
当AP为对角线时，同法可得Q(−252,98)，
综上，Q(12,−98) 或Q(−12,98) 或Q(−252,98)．
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
−1
54
2
54
…
x
⋯
−1
0
1
2
3
⋯
y
⋯
0
3
4
3
0
⋯