2024-2025学年山东省德州市齐河县刘桥中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省德州市齐河县刘桥中学九年级（上）开学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了下列正确的是，9=0等内容，欢迎下载使用。

A. a≥−23B. a<−23C. a≤−23D. a>−23
2.下列正确的是( )
A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94= 32D. 4.9=0.7
3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
A. ∠B=∠FB. DE=EFC. AC=CFD. AD=CF
4.计算( 27− 12)× 13的结果是( )
A. 33B. 1C. 5D. 3
5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，8，10D. 7，24，25
6.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(8,6)，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径画弧两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为( )
A. (0,1)B. (0,83)C. (0,53)D. (0,2)
7.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=13，则EF2的值是( )
A. 128
B. 64
C. 32
D. 144
8.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( )
A. 当t=4s时，四边形ABMP为矩形
B. 当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形
C. 当CD=PM时，t=4s
D. 当CD=PM时，t=4s或6s
9.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为( )
A. 12
B. 18
C. 24
D. 48
10.如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB= 5，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN.则当M运动的过程中，CN长度的最大值为( )
A. 1+ 2B. 5+12C. 1D. 2
11.当x=−6时， 6−3x的值是______．
12.在△ABC中，三边长分别为1、 2、 3，则它的面积为______．
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OE=2，∠BAO=60°，则BD的长为______．
14.已知：a= 3+ 2，b= 3− 2，则a2+b2=______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF=6，求AM的长．
16.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，CD=10，则AD=______．
17.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为______．
18.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠DCB=30°，DC/​/AB，DE⊥AB，垂足为E，且AE=BE，若AD=2，则线段AC的长度为______．
19.计算：
(1)( 24+ 12)−2 18− 6；
(2)( 3+1)2−6 13；
(3) 2×( 2+1 2)− 18− 8 2；
(4)(6 x4−2x 1x)÷3 x．
20.已知a，b，c满足|a− 8|+ b−5+(c−3 2)2=0．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长，如果不能，请说明理由．
21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF/​/AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
22.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
23.【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b 2=(m+n 2)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2 2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把a+b 2的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a=______，b=______；
(2)利用(1)的结论，找一组正整数a，b，m，n(m≠n)，使得a+b 3=(m+n 3)2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
(3)若a+6 5=(m+n 5)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
24.我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
(1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______(请填序号)；
①平行四边形②菱形③矩形④正方形
(2)如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=BF，求证：四边形DEBF是完美四边形；
(3)完美四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，连接AC．
①如图2，求证：CA平分∠DCB；
②如图3，当∠BAD=90°时，直接用等式表示出线段AC，BC，CD之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：3a+2≥0，
解得：a≥−23．
故选：A．
根据二次根式的被开方数大于或等于零解答即可．
本题考查的是二次根式的有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A． 4+9= 13≠2+3，错误，不符合题意；
B. 4×9=2×3，正确，符合题意；
C. 94= 38≠ 32，错误，不符合题意；
D. 4.9≠0.7，错误，不符合题意．
故选：B．
根据二次根式的性质判断即可．
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
利用三角形中位线定理得到DE/​/AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/AC，DE=12AC，
A、当∠B=∠F时，不能判定AD/​/CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE=EF，
∴DE=12DF，
∴AC=DF，
∵AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC=CF，不能判定AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD=CF，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF/​/AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：( 27− 12)× 13
= 27×13− 12×13
= 9− 4
=3−2
=1，
故选：B．
先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵当m=3，n=1时，
a=12(m2−n2)=12(32−12)=4，b=mn=3×1=3，c=12(m2+n2)=12×(32+12)=5，
∴选项A不符合题意；
∵当m=5，n=1时，
a=12(m2−n2)=12(52−12)=12，b=mn=5×1=5，c=12(m2+n2)=12×(52+12)=13，
∴选项B不符合题意；
∵当m=7，n=1时，
a=12(m2−n2)=12(72−12)=24，b=mn=7×1=7，c=12(m2+n2)=12×(72+12)=25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明△ADO≌△ADE是本题的关键．
过点D作DE⊥AC于点E，由勾股定理可求AC=10，由“AAS”可证△ADO≌△ADE，可证AE=AO=8，OD=DE，可得CE=2，由勾股定理可求OD的长，即可求点D坐标．
【解答】
解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(8,6)，
∴OA=8，OC=6
∴AC= OC2+AO2=10
由题意可得AD平分∠OAC
∴∠DAE=∠DAO，AD=AD，∠AOD=∠AED=90°
∴△ADO≌△ADE(AAS)
∴AE=AO=8，OD=DE
∴CE=2，
∵CD2=DE2+CE2，
∴(6−OD)2=4+OD2，
∴OD=83
∴点D(0,83)
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：∵AE=5，BE=13，
∴AB= AE2+BE2= 52+132= 194，
∴小正方形的面积为：( 194)2−5×132×4=194−130=64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2=128，
故选：A．
根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，可得DP=t，BM=t，
∵AD=10cm，BC=8cm，
∴AP=10−t，CM=8−t，
当四边形ABMP为矩形时，AP=BM，
即10−t=t，
解得t=5，
故A选项不符合题意；
当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM，
即t=8−t，
解得t=4，
故B选项不符合题意；
当CD=PM时，分两种情况：
①四边形CDPM是平行四边形，
此时CM=PD，
即8−t=t，
解得t=4，
②四边形CDPM是等腰梯形，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：
则∠MGP=∠CHD=90°，
在△MGP和△CHD中，
PM=CDGM=HC
△MGP≌△CHD(HL)，
∴GP=HD，
∵AG=AP+GP=10−t+t−(8−t)2，
又∵BM=t，
∴10−t+t−(8−t)2=t，
解得t=6，
综上，当CD=PM时，t=4s或6s，
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
根据题意，表示出DP，BM，AD和BC的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP=BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP=CM，列方程求解即可；当CD=PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示出各线段的长是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵S1=3，S3=9，
∴AB= 3，CD=3，
过A作AE/​/CD交BC于E，
则∠AEB=∠DCB，
∵AD/​/BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，AE=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴BE= AB2+AE2=2 3，
∵BC=2AD，
∴BC=2BE=4 3，
∴S2=(4 3)2=48，
故选：D．
根据已知条件得到AB= 3，CD=3，过A作AE/​/CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE=AD，AE=CD=3，由已知条件得到∠BAE=90°，根据勾股定理得到BE= AB2+AE2=2 3，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB= 5，
∴AC⊥BD，OD=12BD=2，CD= 5，
∴OC= CD2−OC2=1，
∵N为MD中点，
∴ON//BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND=90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：OE=12OD=1,CE= OC2+OE2= 2,NE=12OD=1，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE+NE=1+ 2；
故选：A．
连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON/​/BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
11.【答案】2 6
【解析】解：当x=−6时，原式= 6−3×(−6)=2 6．
故答案为：2 6．
利用代入法，代入所求的式子即可．
本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
12.【答案】 22
【解析】解：∵△ABC的三边长分别为1、 2、 3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积为12× 2×1= 22，
故答案为： 22．
先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出△ABC是直角三角形是解此题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OD，∠DAB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=60°，
∴∠DAO=∠ADO=30°，
又∵OE⊥AD，
∴OE是Rt△ABD的中位线，
∴AB=2OE=4，
∴BD=2AB=8．
故答案为：8．
先由矩形的性质得出OA=OB及AB=2OE，从而得出∠BAO=∠ABO=60°，再推出∠ADB=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了矩形的性质和特殊直角三角形的性质，综合运用图形的性质解题是关键．
14.【答案】10
【解析】解：∵a= 3+ 2，b= 3− 2，
∴a+b=( 3+ 2)+( 3− 2)=2 3，
ab=( 3+ 2)( 3− 2)=1，
∵a2+b2=(a+b)2−2ab，
∴a2+b2=(2 3)2−2=12−2=10．
故答案为：10．
先根据完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab，再求出a+b=2 3，ab=1，代入即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式并能进行公式变形是解题关键．
15.【答案】解：∵点E，F分别是BM，CM的中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∴BC=2EF=12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=12，
∵AM=2MD，AD=AM+MD=12，
解得：AM=8，
即AM的长为8．
【解析】证明EF是△BCM的中位线，得BC=2EF=12，再由平行四边形的性质得AD=BC=12，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】6 2
【解析】解：∵AC⊥BD，
∴由勾股定理得到：AO2+BO2=62 ①，
CO2+BO2=82 ②，
DO2+CO2=102 ③，
由①+②+③得：AO2+DO2+2(CO2+BO2)=62+82+102，
即AO2+DO2+2×82=62+82+102，
∴AO2+DO2=72，
∴AD2=72，
∴AD=6 2．
故答案为：6 2．
利用勾股定理得到：AO2+BO2=62，CO2+BO2=82，DO2+CO2=102，将三个等式相加，求得AO2+DO2的值即可．
考查了勾股定理，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中，解题的关键是利用方程思想得到AO2+DO2的值．
17.【答案】172
【解析】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BCD=90°，O是中点，
∵F为DE的中点，
∴CF=EF=DF，
∵△CEF的周长为32，CE=7，
∴CF+EF=25，即DE=25，
在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD=24=BC，
∴BE=24−7=17，
根据三角形的中位线可得OF=12BE=172．
故答案为：172．
在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，可知O是中点，∠BCD=90°，F为DE的中点，则CF=EF=DF，△CEF的周长为32，CE=7，则CF+EF=25，即DE=25，根据勾股定理可得CD=24=BC，从而求得BE，再根据中位线的性质即可解答．
本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键．
18.【答案】2 7
【解析】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB=60°，AD=2，
∴AE=12AD=1，
∴DE= AD2−AE2= 22−12= 3，
∵DC/​/AB，
∴四边形DEFC为矩形，
∴CF=DE= 3，∠CBF=∠DCB=30°，
∴BF= 3× 3=3．
∴AF=AE+BE+BF=1+1+3=5．
在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2= 52+( 3)2=2 7．
故答案为：2 7．
过点C作CF⊥AB于点F，求出AE=1，DE= 3，可知四边形DEFC为矩形，则CF= 3，求出BF=3，则由勾股定理可求出AC的长．
本题考查查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2 6+ 22− 22− 6
= 6；
(2)原式=3+2 3+1−2 3
=4；
(3)原式=2+1−( 9− 4)
=3−(3−2)，
=3−1，
=2；
(4)原式=(3 x−2 x)÷3 x
= x÷3 x，
=13．
【解析】(1)利用二次根式的性质化简，再合并即可求解；
(2)利用完全平方公式和二次根式的性质分别运算，再合并即可求解；
(3)利用二次根式的乘除法运算法则计算，再合并即可求解；
(4)利用二次根式的性质先化简括号内的二次根式，再进行除法运算即可求解．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意得，a− 8=0，b−5=0，c−3 2=0，
解得a=2 2，b=5，c=3 2；
(2)∵2 2+3 2>5，
即a+c>b，
∴能构成三角形，
∴C△ABC=2 2+3 2+5=5 2+5．
【解析】(1)根据非负数的性质列式求解即可得到a、b、c的值；
(2)利用三角形的三边关系判断能够组成三角形，然后根据三角形的周长公式列式进行计算即可得解．
本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵DF/​/AC，
∴∠OAD=∠ADF，
在△AOE和△DFE中，
∠AEO=∠DEFAE=DE∠OAE=∠FDE,
∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(2)解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF/​/AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【解析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
(1)利用全等三角形的判定定理即可．
(2)先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．
22.【答案】(1)证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=12OB，OD=BD=12OB
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC//AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO//AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
(2)解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8−x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，
∴AO= 32BO=8× 32=4 3，
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，
x2+(4 3)2=(8−x)2，
解得：x=1，
∴OG=1．
【解析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．
(1)首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC/​/AE，CO//AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；
(2)设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8−x，再利用含30°的直角三角形的性质可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．
23.【答案】解：(1)m2+3n2 ，2mn；
(2)当n=1，m=2时，a=22+3×1=7，b=2mn=4，
故a=7，b=4，m=2，n=1时，a+b+m+n的值最小．
(3)(m+n 5)2=m2+2 5mn+5n2=a+6 5，
∴a=m2+5n2，6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴令m=1，n=3或m=3，n=1；
当m=1，n=3时，a=12+5×32=46．
当m=3，n=1时，a=32+5×12=14．
综上，a的值为14或46．
【解析】解：(1)(m+n 3)2=m2+2 3mn+3n2=m2+3n2+2mn 3．
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
(2)见答案．
(3)见答案．
(1)根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；
(2)根据(1)的结论即可得到结果；
(3)根据题意得到a=m2+5n2，b=2mn，求得mn=3，分类讨论即可得到结论．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．
24.【答案】④
【解析】解：(1)根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形；
故答案为：④；
(2)证明：如图，连接BD，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD，AD//BC．
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=60°=∠A．
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE=DF，∠AED=∠BFD．
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠BFD+∠DEB=180°，
∴四边形DEBF是完美四边形．
(3)①证明：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠D．
又∵AB=AD，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴∠ACD=∠E，AC=AE，
∴∠ACE=∠E，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCB；
②BC+CD= 2AC，
理由如下：如图2，延长CB，使BE=CD，连接AE，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AD=AB，BE=CD，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，
∴∠CAE=∠DAB=90°，
∴CE= AC2+AE2= 2AC，
∴CD+BC= 2AC．
(1)根据“完美四边形”的定义即可判断；
(2)连接BD，先证△ABD是等边三角形得AD=BD，再证△ADE≌△BDF得DE=DF，∠AED=∠BFD.结合∠AED+∠DEB=180°知∠BFD+∠DEB=180°，从而得证；
(3)①延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，证△ADC≌△ABE得∠ACD=∠E，AC=AE，继而知∠ACE=∠E，从而得∠ACD=∠ACE，即可得证；
②延长CB使BE=CD，连接AE，由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，在Rt△CAE中，由勾股定理可求CE= 2AC，即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了完美四边形的定义，三角形面积，三角形全等的性质和判定，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．