2022-2023学年吉林省长春市二道区七年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年吉林省长春市二道区七年级（下）期末数学试卷

1.  下列漂亮的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  现有长度分别为10cm和20cm的两根小棒，王红要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则她所选择的小棒是(    )

A. 5cm B. 25cm C. 35cm D. 40cm

3.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修.爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为(    )

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

5.  下列方程变形正确的是(    )

A. 由，得
B. 由，得
C. 由，得
D. 由，得

6.  如图，的周长为12cm，若将沿射线BC方向平移3cm后得到，AC与DE相交点G，连结AD，则与的周长和为(    )

A. 15cm B. 13cm C. 12cm D. 9cm

7.  如图，将一副三角板重叠，使两个直角顶点重合，若两直角重叠形成的角，则图中的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两.问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知关于x的方程的解是，则a的值为______ .

10.  若将二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式，则______ .

11.  若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是______ .

12.  如图，已知≌，，，那么______ 度.

13.  如图，等边的每个内角都等于，点D是边AB上的点，连结CD，将沿CD折叠，点B的对应点为点，连结若，交AC于点E，则______ 度.

14.  如图，在中，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点.若的面积为，则的面积为______

15.  解方程组

16.  解方程：

17.  下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解不等式：
去分母，得
任务一：“去分母”这一步的变形依据是______ 填“A”或“B”
A.不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变.
B.不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变.
任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上.

 

18.  已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多
求这个多边形是几边形；
如果从这个多边形的一个顶点引出对角线，最多可以引______条对角线．

19.  如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，，求：
的度数；
的度数.

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容理由或数学式
解：已知，
______ .
______ ，
______ ______ 等量代换
______
等式的性质
已知，
______ ______ 等量代换
你还能用其他方法解决这一问题吗？

20.  图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图.
在图①中作边AB上的高
在图②中作边BC上的高
在图③中作边AC上的高

 

21.  阅读下列材料，解答下面的问题.
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可.
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求这个二元一次方程的正整数解.
解：由，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程的正整数解为或
问题：
若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______ 个.
直接写出满足方程的正整数解______
若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段两种规格都有，请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法.

22.  【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：
如图①，在中，BP平分，CP平分，请你判断和间的数量关系并说明理由.
刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程.
解：结论：______ .
理由：平分，CP平分，
，



=______
【模型发展】如图②，点P是的外角平分线BP与CP的交点，请你判断和间的数量关系并说明理由.
【解决问题】如图③，在中，BP平分，CP平分，点Q是的外角平分线BQ与CQ的交点.若，则______ 度.

 

23.  某学校七年级甲、乙两班为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额.
求每个足球和篮球的价格.
若该校七年级丙班在同一商场购买了同种型号的足球3个、篮球1个，则该班共消费______ 元.
若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不少于460元，则该校八年级至少购买了多少个足球？

24.  如图，在长方形ABCD中，，，点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线AB一BC运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线CB方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动.设点P的运动时间为秒
①当点P在AB上运动时，______ 用含t的代数式表示
②当点P在BC上运动时，______ 用含t的代数式表示
当点P运动到BC的中点时，求线段BQ的长.
当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值.
当点P在BC上运动时，连结AP、直接写出的面积是时t的值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：A：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故A选项符合题意；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意，
故选：
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．

2.【答案】B 

【解析】解：两根小棒的长度为10cm和20cm，
根据三角形的三边关系得：第三边，
即：第三边，
只有25cm适合，
故选：
根据三角形的三边关系确定答案即可．
考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差，难度不大．

3.【答案】D 

【解析】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

4.【答案】B 

【解析】解：A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意；
B、正方形、八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意；
C、正八边形的内角为，正五边形的内角为，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意；
D、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意．
故选：
正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解．
本题考查平面镶嵌密铺，正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为

5.【答案】B 

【解析】解：，
方程两边都加4得：，
即，故本选项不符合题意；
B.，
方程两边都加12得：，
即，故本选项符合题意；
C.当时，由不能推出，故本选项不符合题意；
D.，
方程两边都减2x得：，故本选项不符合题意；
故选：
根据等式的性质逐个判断即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．

6.【答案】C 

【解析】解：沿BC方向平移3cm得到，
，，
，
与的周长和为，
故选：
先利用平移的性质得到，，然后计算阴影部分的周长．
本题考查的平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．

7.【答案】D 

【解析】解：如图，由题意得，，，，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
故选：
根据三角形外角的性质得出，，结合三角板的性质即可求出的度数．
本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

8.【答案】A 

【解析】解：根据题意，得
故选：
若每人7两，还剩4两，则银子共有两；若每人9两，还差8两，则银子共有两．根据银子数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

9.【答案】5 

【解析】解：是方程的解，

解得：
故答案为：
将代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．
本题主要考查的是一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
系数化成1得：
故答案为：
根据等式的性质进行变形即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．

11.【答案】3 

【解析】解：，
①+②得：，
解得：，
，
，
，
，
，
，
满足题意的最小整数a是3，
故答案为：
先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．

12.【答案】95 

【解析】解：≌，，，
，，

故答案为：
直接利用全等三角形的性质得出，的度数，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．

13.【答案】90 

【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
由折叠的性质得到：，
，

故答案为：
由等边三角形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，因此，于是得到
本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接CE，
是BC的中点，
，，
是AD的中点，
，，
，
是BE的中点，
，
的面积为，
的面积
故答案为：
连接CE，然后根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，，从而求出，再根据计算即可得解．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．

15.【答案】解：
得：，
解得
代入得：，
解得
则原方程组的解为 

【解析】本题先用式两边同时乘以3，与第二个方程相减即可求得y，代入求得x即可．
这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．
根据未知数系数的特点，选择合适的方法．

16.【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得 

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．

17.【答案】A 

【解析】解：任务一：“去分母”这一步的变形依据是不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，
故答案为：A；
任务二：，
，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

任务一：根据不等式的基本性质，即可解答；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

18.【答案】6 

【解析】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为，依题意得：
，
解得，
答：这个多边形是九边形；
从n边形的一个顶点引出对角线，可以引条，
则从九边形的一个顶点引出对角线，可以引6条．
故答案为：
一个多边形的内角和等于外角和的3倍多，而任何多边形的外角和是，因而多边形的内角和等于边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
从n边形的一个顶点引出对角线，可以引条．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引条对角线．

19.【答案】解：已知，
，
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
等量代换；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
等式的性质，
已知，
等量代换 

【解析】根据垂直的定义、三角形的外角性质计算即可；
根据三角形的外角性质计算；
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

20.【答案】解：如下图：

即为所求；
即为所求；
取格点O，连接BO并延长交AC于点F，BF即为所求 

【解析】根据网格线的特点及高的定义作图．
本题考查了作图的应用月设计，掌握网格线的特点弧高的定义是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：若为非负整数，且，
可以为1，2，4，5，10或20，
可以为4，5，7，8，13，23，
满足条件的整数x的值有6个．
故答案为：6；
，

又，y均为正整数，
，
方程的正整数解为
故答案为：；
设可以截成a段3m，b段4m的绳子，
根据题意得：，

又，b均为正整数，
或，
共有2种截法，
截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；
截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
由为非负整数，可得出可以为1，2，4，5，10或20，进而可得出x的值；
由，可得出，结合x，y均为正整数，即可得出二元一次方程的正整数解；
设可以截成a段3m，b段4m的绳子，根据绳子的总长为32m，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各截法．
本题考查了二元一次方程的应用以及因数、倍数，解题的关键是：根据20的因数，找出的值；熟练掌握求二元一次方程的正整数解的方法；找准等量关系，正确列出二元一次方程．

22.【答案】 

【解析】解：【探索发现】：，
理由：平分，CP平分，
，



，
故答案为：；
【模型发展】，
理由：，，BP平分，CP平分，
，，
，
，
，


；
【解决问题】由【探索发现】得：，
由【模型发展】得：，
故答案为：
【探索发现】由角平分线定义得，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
【模型发展】由三角形的外角性质和角平分线定义得，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
【解决问题】由【探索发现】得，再由【模型发展】得，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．

23.【答案】190 

【解析】解：设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，
根据题意得：，
解得：
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；


元，
该班共消费190元．
故答案为：190；
设该校八年级购买了m个足球，则购买了个篮球，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为
答：该校八年级至少购买了6个足球．
设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，利用总价=单价数量，结合七年级甲、乙两班购买的足球和篮球的数量及消费的金额，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用总价=单价数量，即可求出结论；
设该校八年级购买了m个足球，则购买了个篮球，利用总价=单价数量，结合总价不少于460元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】 

【解析】解：①当时，，
故答案为：；
②当时，，
故答案为：；
当点P运动到BC的中点时，，
，
点Q的运动路程为，
；
当点P在AB上时，点Q在BC上时，
，
，
解得，
当点P在BC上时，由题意知P，Q重合，
，

综上所述，t的值为或；
，
，
若点P，Q在相遇前，，
，
若点P，Q在相遇后，，
，
综上所述，t的值为或
判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
求出t的值，即可求出BQ的长；
分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
根据三角形APQ的面积求出，分两种情形构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型