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_吉林省长春市二道区2020-2021学年七年级上学期期末数学试卷 解析版
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这是一份_吉林省长春市二道区2020-2021学年七年级上学期期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省长春市二道区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．2020年长春市中考考生人数约为64300人，用科学记数法表示64300为（ ）
A．64×103 B．6.4×103 C．6.43×103 D．6.43×104
3．如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列化简正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝a B．3xy﹣4yx＝﹣xy
C．﹣2m+6n＝4mn D．3ab2﹣4a2b＝﹣ab2
5．钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
6．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85° B．160° C．125° D．105°
7．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（ ）个〇．
A．6058 B．6059 C．6060 D．6061
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小：﹣|﹣1| ．（“＞”或“＝”或“＜”）
10．若∠A＝35°16′40″，则它的补角大小为 ．
11．用四舍五入法将6.789精确到百分位为 ．
12．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
13．直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线相交于点D，若∠1＝26°，则∠2的度数为 ．
14．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，则（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值为 ．
三、解答题（本大题共10道题，共78分）
15．计算：
（1）（﹣15）﹣（﹣25）；
（2）|﹣7.5|﹣|﹣|；
（3）（﹣）×（﹣24）；
（4）﹣99×15．
16．先化简，再求值：4（x﹣1）﹣2（x2+1）+（4x2﹣2x），其中x＝﹣2．
17．如图，已知点C为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
18．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
19．如图长方形的长为a，宽为2b，
（1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S．
（2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14）
20．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．
（1）请完成下列书写过程．
∵AO∥CD（已知）
∴∠O＝ ＝40°（ ）
又∵OB∥DE（已知）
∴ ＝∠1＝ °（ ）
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝ °．
21．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上．按要求画图：
（1）如图a，在线段AB上找一点P，使PC+PD最小．
（2）如图b，在线段AB上找一点Q，使CQ⊥AB，画出线段CQ．
（3）如图c，画线段CM∥AB．要求点M在格点上．
22．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）5节链条长 cm．
（2）n节链条长 cm．
（3）现有50节这样的链条，求链条总长为多少？
23．如图，数轴上点P，Q表示的数分别为﹣4和6．
（1）线段PQ＝ ．
（2）若线段PQ中点为M，求点M表示的数．
（3）现有甲，乙两个蚂蚁分别从点P，Q出发相向而行，甲蚂蚁速度为每秒1单位长度，乙蚂蚁的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，当两个蚂蚁之间的距离为4个单位长度时，写出t的值．
24．同学们小学就知道，三角形的内角和为180°．小学通过剪拼的方式把三角形三个内角剪下来拼成一个平角，从而得出三角形内角和是180°．
如图①，小明同学对于任意三角形ABC的内角和为180°进行了探究，即探究∠A+∠B+∠C＝180°．探究方法如下：小明过点A作直线NM∥BC，请你帮助小明完成（1）的解答过程：
【探究】（1）解：过点A作MN∥BC．
【应用】（2）根据上述结论回答下列问题：
①三角形ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ °．
②三角形ABC的三个内角之比为1：2：3，则三角形ABC是 三角形．
（3）在三角形ABC中，∠BAC＝50°，且三角形有两个内角相等，则这个三角形的最大内角为 °．
（4）如图②，在三角形ABC中，∠A＝60°，∠B和∠C的平分线交于点P，则∠P＝ °．
2020-2021学年吉林省长春市二道区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
2．2020年长春市中考考生人数约为64300人，用科学记数法表示64300为（ ）
A．64×103 B．6.4×103 C．6.43×103 D．6.43×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：64300＝6.43×104．
故选：D．
3．如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：A．
4．下列化简正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝a B．3xy﹣4yx＝﹣xy
C．﹣2m+6n＝4mn D．3ab2﹣4a2b＝﹣ab2
【分析】根据同类项的定义和合并同类项法则解答．
【解答】解：A、原式＝2a，故本选项化简错误．
B、原式＝﹣xy，故本选项化简正确．
C、﹣2m与6n不是同类项，不能合并，故本选项化简错误．
D、3ab2与4a2b不是同类项，不能合并，故本选项化简错误．
故选：B．
5．钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据每份的度数可得时针与分针相距的份数，可得答案．
【解答】解：3点30分时，它的时针和分针所成的角是30°×2.5＝75°，
故选：A．
6．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85° B．160° C．125° D．105°
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【解答】解：AB于正东方向的夹角的度数是：90°﹣70°＝20°，
则∠BAC＝20°+90°+15°＝125°．
故选：C．
7．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】A、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
C、由图形得出两角的关系，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
【解答】解：A、可得：∠α＝∠β＝45°，符合题意；
B、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；
C、由图形得：∠β﹣∠α＝30°，不合题意；
D、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意．
故选：A．
8．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（ ）个〇．
A．6058 B．6059 C．6060 D．6061
【分析】观察图形的变化可得第n个图形中共有〇的个数，进而可得第2020个图形中共有〇的个数．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中共有3×1+1＝4个〇；
第2个图形中共有3×2+1＝7个〇；
第3个图形中共有3×3+1＝10个〇；
…
所以第n个图形中共有（3n+1）个〇；
所以第2020个图形中共有〇的个数为：3×2020+1＝6061．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．比较大小：﹣|﹣1| ＜ ．（“＞”或“＝”或“＜”）
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣|﹣1|＝﹣1，
∴﹣|﹣1|＜．
故答案为：＜．
10．若∠A＝35°16′40″，则它的补角大小为 144°43′20″ ．
【分析】根据互为补角的两角和为180°解答即可．
【解答】解：∵∠A＝35°16′40″，
∴∠A的补角大小为：180°﹣35°16′40″＝144°43′20″．
故答案为：144°43′20″．
11．用四舍五入法将6.789精确到百分位为 6.79 ．
【分析】对千分位数字四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法将6.789精确到百分位为6.79，
故答案为：6.79．
12．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13．直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线相交于点D，若∠1＝26°，则∠2的度数为 71° ．
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝26°+45°＝71°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝71°．
【解答】解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝26°+45°＝71°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝71°．
故答案为：71°．
14．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，则（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值为 ﹣15 ．
【分析】首先根据当x＝1时，ax+b+1＝﹣3，求出a+b的值是多少；然后把它代入（a+b+1）（1﹣a﹣b），求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，
∴a+b+1＝﹣3，
∴a+b＝﹣4，
∴（a+b+1）（1﹣a﹣b）
＝[（a+b）+1][1﹣（a+b）]
＝1﹣（a+b）2
＝1﹣（﹣4）2
＝1﹣16
＝﹣15．
故答案为：﹣15．
三．解答题
15．计算：
（1）（﹣15）﹣（﹣25）；
（2）|﹣7.5|﹣|﹣|；
（3）（﹣）×（﹣24）；
（4）﹣99×15．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法即可解答本题；
（2）先去掉绝对值，然后根据有理数的减法可以解答本题；
（3）根据乘法分配律可以解答本题；
（4）根据乘法分配律可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣15）﹣（﹣25）
＝（﹣15）+25
＝10；
（2）|﹣7.5|﹣|﹣|
＝7.5﹣0.5
＝7；
（3）（﹣）×（﹣24）
＝﹣×（﹣24）×（﹣24）×（﹣24）
＝18+（﹣14）+15
＝19；
（4）﹣99×15
＝（﹣100+）×15
＝﹣100×15+×15
＝﹣1500+2
＝﹣1498．
16．先化简，再求值：4（x﹣1）﹣2（x2+1）+（4x2﹣2x），其中x＝﹣2．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x﹣4﹣2x2﹣2+2x2﹣x
＝3x﹣6，
当x＝﹣2时，
原式＝3×（﹣2）﹣6
＝﹣6﹣6
＝﹣12．
17．如图，已知点C为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
【分析】根据AD＝AC+CD，分别求出AC、CD即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝10cm，C是AB中点，
∴AC＝BC＝AB＝5cm，
∵D是BC中点，
∴CD＝BC＝2.5cm
∴AD＝AC+CD＝7.5cm．
18．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
【分析】（1）直接根据角平分线的定义求解即可；
（2）分OD⊥OA和OD⊥OB讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；
（2）如图，当OD⊥OA时，
∠COD＝90°﹣∠AOC＝30°或∠COD＝90°+∠AOC＝150°；
同理，当OD⊥OB时，∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°或∠COD＝90°+∠BOC＝150°；
故∠COD的度数为30°或150°．
19．如图长方形的长为a，宽为2b，
（1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S．
（2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14）
【分析】（1）由图可得，阴影部分的面积是长方形的面积与两个直径为2b的半圆的面积之差，由长方形的长为a，宽为2b，从而可以表示出阴影部分的面积；
（2）将a＝5cm，b＝2cm，代入第（1）问中求得的代数式即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵长方形的长为a，宽为2b，
∴S阴影＝2ab﹣πb2；
（2）a＝5cm，b＝2cm时，
S阴影＝20﹣3.14×4＝7.44（cm2），
即S阴影＝7.44（cm2）．
20．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．
（1）请完成下列书写过程．
∵AO∥CD（已知）
∴∠O＝ ∠1 ＝40°（ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵OB∥DE（已知）
∴ ∠D ＝∠1＝ 40 °（ 两直线平行，同位角相等 ）
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝ （40或140） °．
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行于一个角的两条边所夹的角与该角相等或互补即可求解．
【解答】解：（1）∵AO∥CD（已知），
∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等），
又∵OB∥DE（已知），
∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40或140）°．
故答案为：（40或140）．
21．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上．按要求画图：
（1）如图a，在线段AB上找一点P，使PC+PD最小．
（2）如图b，在线段AB上找一点Q，使CQ⊥AB，画出线段CQ．
（3）如图c，画线段CM∥AB．要求点M在格点上．
【分析】（1）根据两点之间线段最短即可在图a线段AB上找一点P，使PC+PD最小；
（2）根据网格即可在图b线段AB上找一点Q，使CQ⊥AB，画出线段CQ；
（3）根据网格即可在图c画线段CM∥AB．要求点M在格点上．
【解答】解：（1）如图a，点P即为所求；
（2）如图b，点Q和线段CQ即为所求；
（3）如图c，线段CM即为所求．
22．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）5节链条长 9.3cm cm．
（2）n节链条长 （1.7n+0.8） cm．
（3）现有50节这样的链条，求链条总长为多少？
【分析】（1）根据图形找出规律计算5节链条的长度即可；
（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；
（3）根据（2）计算即可求解．
【解答】解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8（cm），
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2（cm），
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3（cm），
5节链条的长度为：2.5×5﹣0.8×4＝9.3（cm）．
故答案为：9.3cm；
（2）由（1）可得n节链条长为：2.5n﹣0.8（n﹣1）＝（1.7n+0.8）cm．
故答案为：（1.7n+0.8）；
（3）1.7×50+0.8＝85.8厘米，
所以50节这样的链条总长度是85.8厘米．
23．如图，数轴上点P，Q表示的数分别为﹣4和6．
（1）线段PQ＝ 10 ．
（2）若线段PQ中点为M，求点M表示的数．
（3）现有甲，乙两个蚂蚁分别从点P，Q出发相向而行，甲蚂蚁速度为每秒1单位长度，乙蚂蚁的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，当两个蚂蚁之间的距离为4个单位长度时，写出t的值．
【分析】（1）由点P，Q表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，即可求出线段PQ的长；
（2）由点M表示的数＝点P表示的数+×线段PQ的长，可求出结论；
（3）当运动时间为t秒时，甲蚂蚁在数轴上表示的数为﹣4+t，乙蚂蚁在数轴上表示的数为6﹣2t，根据两个蚂蚁之间的距离为4个单位长度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）PQ＝|﹣4﹣6|＝10．
故答案为：10．
（2）﹣4+PQ＝﹣4+×10＝﹣4+5＝1．
答：点M表示的数为1．
（3）当运动时间为t秒时，甲蚂蚁在数轴上表示的数为﹣4+t，乙蚂蚁在数轴上表示的数为6﹣2t．
依题意得：|﹣4+t﹣（6﹣2t）|＝4，
即10﹣3t＝4或3t﹣10＝4，
解得：t＝2或t＝．
答：t的值为2或．
24．同学们小学就知道，三角形的内角和为180°．小学通过剪拼的方式把三角形三个内角剪下来拼成一个平角，从而得出三角形内角和是180°．
如图①，小明同学对于任意三角形ABC的内角和为180°进行了探究，即探究∠A+∠B+∠C＝180°．探究方法如下：小明过点A作直线NM∥BC，请你帮助小明完成（1）的解答过程：
【探究】（1）解：过点A作MN∥BC．
【应用】（2）根据上述结论回答下列问题：
①三角形ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ 70 °．
②三角形ABC的三个内角之比为1：2：3，则三角形ABC是 直角 三角形．
（3）在三角形ABC中，∠BAC＝50°，且三角形有两个内角相等，则这个三角形的最大内角为 65或80 °．
（4）如图②，在三角形ABC中，∠A＝60°，∠B和∠C的平分线交于点P，则∠P＝ 120 °．
【分析】（2）①根据平行线的性质，平角的定义即可求解；
②根据三角形内角和为180°和三个内角的比，以及三角形的分类即可求解；
（3）分∠BAC是顶角或底角两种情况讨论即可求解；
（4）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形内角和定理求出∠P．
【解答】解：（1）过点A作MN∥BC．
（2）①∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠NCB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠C＝70°．
故答案为：70；
②∵三角形ABC的三个内角之比为1：2：3，
∴最大角为180°×＝90°，
则三角形ABC是直角三角形．
故答案为：直角；
（3）当∠BAC是顶角，
∵∠BAC＝50°，
∴底角是（180°﹣50°）÷2＝65°；
当∠BAC是底角，
∵∠BAC＝50°，
∴顶角是180°﹣50°×2＝80°．
则这个三角形的最大内角为65°或80°．
故答案为：65或80；
（4）∵在三角形ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠B和∠C的平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
则∠P＝120°．
故答案为：120．
2020-2021学年吉林省长春市二道区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．2020年长春市中考考生人数约为64300人，用科学记数法表示64300为（ ）
A．64×103 B．6.4×103 C．6.43×103 D．6.43×104
3．如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列化简正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝a B．3xy﹣4yx＝﹣xy
C．﹣2m+6n＝4mn D．3ab2﹣4a2b＝﹣ab2
5．钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
6．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85° B．160° C．125° D．105°
7．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（ ）个〇．
A．6058 B．6059 C．6060 D．6061
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小：﹣|﹣1| ．（“＞”或“＝”或“＜”）
10．若∠A＝35°16′40″，则它的补角大小为 ．
11．用四舍五入法将6.789精确到百分位为 ．
12．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
13．直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线相交于点D，若∠1＝26°，则∠2的度数为 ．
14．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，则（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值为 ．
三、解答题（本大题共10道题，共78分）
15．计算：
（1）（﹣15）﹣（﹣25）；
（2）|﹣7.5|﹣|﹣|；
（3）（﹣）×（﹣24）；
（4）﹣99×15．
16．先化简，再求值：4（x﹣1）﹣2（x2+1）+（4x2﹣2x），其中x＝﹣2．
17．如图，已知点C为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
18．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
19．如图长方形的长为a，宽为2b，
（1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S．
（2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14）
20．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．
（1）请完成下列书写过程．
∵AO∥CD（已知）
∴∠O＝ ＝40°（ ）
又∵OB∥DE（已知）
∴ ＝∠1＝ °（ ）
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝ °．
21．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上．按要求画图：
（1）如图a，在线段AB上找一点P，使PC+PD最小．
（2）如图b，在线段AB上找一点Q，使CQ⊥AB，画出线段CQ．
（3）如图c，画线段CM∥AB．要求点M在格点上．
22．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）5节链条长 cm．
（2）n节链条长 cm．
（3）现有50节这样的链条，求链条总长为多少？
23．如图，数轴上点P，Q表示的数分别为﹣4和6．
（1）线段PQ＝ ．
（2）若线段PQ中点为M，求点M表示的数．
（3）现有甲，乙两个蚂蚁分别从点P，Q出发相向而行，甲蚂蚁速度为每秒1单位长度，乙蚂蚁的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，当两个蚂蚁之间的距离为4个单位长度时，写出t的值．
24．同学们小学就知道，三角形的内角和为180°．小学通过剪拼的方式把三角形三个内角剪下来拼成一个平角，从而得出三角形内角和是180°．
如图①，小明同学对于任意三角形ABC的内角和为180°进行了探究，即探究∠A+∠B+∠C＝180°．探究方法如下：小明过点A作直线NM∥BC，请你帮助小明完成（1）的解答过程：
【探究】（1）解：过点A作MN∥BC．
【应用】（2）根据上述结论回答下列问题：
①三角形ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ °．
②三角形ABC的三个内角之比为1：2：3，则三角形ABC是 三角形．
（3）在三角形ABC中，∠BAC＝50°，且三角形有两个内角相等，则这个三角形的最大内角为 °．
（4）如图②，在三角形ABC中，∠A＝60°，∠B和∠C的平分线交于点P，则∠P＝ °．
2020-2021学年吉林省长春市二道区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
2．2020年长春市中考考生人数约为64300人，用科学记数法表示64300为（ ）
A．64×103 B．6.4×103 C．6.43×103 D．6.43×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：64300＝6.43×104．
故选：D．
3．如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：A．
4．下列化简正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝a B．3xy﹣4yx＝﹣xy
C．﹣2m+6n＝4mn D．3ab2﹣4a2b＝﹣ab2
【分析】根据同类项的定义和合并同类项法则解答．
【解答】解：A、原式＝2a，故本选项化简错误．
B、原式＝﹣xy，故本选项化简正确．
C、﹣2m与6n不是同类项，不能合并，故本选项化简错误．
D、3ab2与4a2b不是同类项，不能合并，故本选项化简错误．
故选：B．
5．钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据每份的度数可得时针与分针相距的份数，可得答案．
【解答】解：3点30分时，它的时针和分针所成的角是30°×2.5＝75°，
故选：A．
6．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85° B．160° C．125° D．105°
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【解答】解：AB于正东方向的夹角的度数是：90°﹣70°＝20°，
则∠BAC＝20°+90°+15°＝125°．
故选：C．
7．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】A、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
C、由图形得出两角的关系，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
【解答】解：A、可得：∠α＝∠β＝45°，符合题意；
B、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；
C、由图形得：∠β﹣∠α＝30°，不合题意；
D、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意．
故选：A．
8．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（ ）个〇．
A．6058 B．6059 C．6060 D．6061
【分析】观察图形的变化可得第n个图形中共有〇的个数，进而可得第2020个图形中共有〇的个数．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中共有3×1+1＝4个〇；
第2个图形中共有3×2+1＝7个〇；
第3个图形中共有3×3+1＝10个〇；
…
所以第n个图形中共有（3n+1）个〇；
所以第2020个图形中共有〇的个数为：3×2020+1＝6061．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．比较大小：﹣|﹣1| ＜ ．（“＞”或“＝”或“＜”）
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣|﹣1|＝﹣1，
∴﹣|﹣1|＜．
故答案为：＜．
10．若∠A＝35°16′40″，则它的补角大小为 144°43′20″ ．
【分析】根据互为补角的两角和为180°解答即可．
【解答】解：∵∠A＝35°16′40″，
∴∠A的补角大小为：180°﹣35°16′40″＝144°43′20″．
故答案为：144°43′20″．
11．用四舍五入法将6.789精确到百分位为 6.79 ．
【分析】对千分位数字四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法将6.789精确到百分位为6.79，
故答案为：6.79．
12．如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13．直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线相交于点D，若∠1＝26°，则∠2的度数为 71° ．
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝26°+45°＝71°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝71°．
【解答】解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝26°+45°＝71°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝71°．
故答案为：71°．
14．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，则（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值为 ﹣15 ．
【分析】首先根据当x＝1时，ax+b+1＝﹣3，求出a+b的值是多少；然后把它代入（a+b+1）（1﹣a﹣b），求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵当x＝1时，ax+b+1的值为﹣3，
∴a+b+1＝﹣3，
∴a+b＝﹣4，
∴（a+b+1）（1﹣a﹣b）
＝[（a+b）+1][1﹣（a+b）]
＝1﹣（a+b）2
＝1﹣（﹣4）2
＝1﹣16
＝﹣15．
故答案为：﹣15．
三．解答题
15．计算：
（1）（﹣15）﹣（﹣25）；
（2）|﹣7.5|﹣|﹣|；
（3）（﹣）×（﹣24）；
（4）﹣99×15．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法即可解答本题；
（2）先去掉绝对值，然后根据有理数的减法可以解答本题；
（3）根据乘法分配律可以解答本题；
（4）根据乘法分配律可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣15）﹣（﹣25）
＝（﹣15）+25
＝10；
（2）|﹣7.5|﹣|﹣|
＝7.5﹣0.5
＝7；
（3）（﹣）×（﹣24）
＝﹣×（﹣24）×（﹣24）×（﹣24）
＝18+（﹣14）+15
＝19；
（4）﹣99×15
＝（﹣100+）×15
＝﹣100×15+×15
＝﹣1500+2
＝﹣1498．
16．先化简，再求值：4（x﹣1）﹣2（x2+1）+（4x2﹣2x），其中x＝﹣2．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x﹣4﹣2x2﹣2+2x2﹣x
＝3x﹣6，
当x＝﹣2时，
原式＝3×（﹣2）﹣6
＝﹣6﹣6
＝﹣12．
17．如图，已知点C为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
【分析】根据AD＝AC+CD，分别求出AC、CD即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝10cm，C是AB中点，
∴AC＝BC＝AB＝5cm，
∵D是BC中点，
∴CD＝BC＝2.5cm
∴AD＝AC+CD＝7.5cm．
18．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
【分析】（1）直接根据角平分线的定义求解即可；
（2）分OD⊥OA和OD⊥OB讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；
（2）如图，当OD⊥OA时，
∠COD＝90°﹣∠AOC＝30°或∠COD＝90°+∠AOC＝150°；
同理，当OD⊥OB时，∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°或∠COD＝90°+∠BOC＝150°；
故∠COD的度数为30°或150°．
19．如图长方形的长为a，宽为2b，
（1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S．
（2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14）
【分析】（1）由图可得，阴影部分的面积是长方形的面积与两个直径为2b的半圆的面积之差，由长方形的长为a，宽为2b，从而可以表示出阴影部分的面积；
（2）将a＝5cm，b＝2cm，代入第（1）问中求得的代数式即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵长方形的长为a，宽为2b，
∴S阴影＝2ab﹣πb2；
（2）a＝5cm，b＝2cm时，
S阴影＝20﹣3.14×4＝7.44（cm2），
即S阴影＝7.44（cm2）．
20．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．
（1）请完成下列书写过程．
∵AO∥CD（已知）
∴∠O＝ ∠1 ＝40°（ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵OB∥DE（已知）
∴ ∠D ＝∠1＝ 40 °（ 两直线平行，同位角相等 ）
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝ （40或140） °．
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行于一个角的两条边所夹的角与该角相等或互补即可求解．
【解答】解：（1）∵AO∥CD（已知），
∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等），
又∵OB∥DE（已知），
∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40或140）°．
故答案为：（40或140）．
21．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上．按要求画图：
（1）如图a，在线段AB上找一点P，使PC+PD最小．
（2）如图b，在线段AB上找一点Q，使CQ⊥AB，画出线段CQ．
（3）如图c，画线段CM∥AB．要求点M在格点上．
【分析】（1）根据两点之间线段最短即可在图a线段AB上找一点P，使PC+PD最小；
（2）根据网格即可在图b线段AB上找一点Q，使CQ⊥AB，画出线段CQ；
（3）根据网格即可在图c画线段CM∥AB．要求点M在格点上．
【解答】解：（1）如图a，点P即为所求；
（2）如图b，点Q和线段CQ即为所求；
（3）如图c，线段CM即为所求．
22．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）5节链条长 9.3cm cm．
（2）n节链条长 （1.7n+0.8） cm．
（3）现有50节这样的链条，求链条总长为多少？
【分析】（1）根据图形找出规律计算5节链条的长度即可；
（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；
（3）根据（2）计算即可求解．
【解答】解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8（cm），
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2（cm），
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3（cm），
5节链条的长度为：2.5×5﹣0.8×4＝9.3（cm）．
故答案为：9.3cm；
（2）由（1）可得n节链条长为：2.5n﹣0.8（n﹣1）＝（1.7n+0.8）cm．
故答案为：（1.7n+0.8）；
（3）1.7×50+0.8＝85.8厘米，
所以50节这样的链条总长度是85.8厘米．
23．如图，数轴上点P，Q表示的数分别为﹣4和6．
（1）线段PQ＝ 10 ．
（2）若线段PQ中点为M，求点M表示的数．
（3）现有甲，乙两个蚂蚁分别从点P，Q出发相向而行，甲蚂蚁速度为每秒1单位长度，乙蚂蚁的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，当两个蚂蚁之间的距离为4个单位长度时，写出t的值．
【分析】（1）由点P，Q表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，即可求出线段PQ的长；
（2）由点M表示的数＝点P表示的数+×线段PQ的长，可求出结论；
（3）当运动时间为t秒时，甲蚂蚁在数轴上表示的数为﹣4+t，乙蚂蚁在数轴上表示的数为6﹣2t，根据两个蚂蚁之间的距离为4个单位长度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）PQ＝|﹣4﹣6|＝10．
故答案为：10．
（2）﹣4+PQ＝﹣4+×10＝﹣4+5＝1．
答：点M表示的数为1．
（3）当运动时间为t秒时，甲蚂蚁在数轴上表示的数为﹣4+t，乙蚂蚁在数轴上表示的数为6﹣2t．
依题意得：|﹣4+t﹣（6﹣2t）|＝4，
即10﹣3t＝4或3t﹣10＝4，
解得：t＝2或t＝．
答：t的值为2或．
24．同学们小学就知道，三角形的内角和为180°．小学通过剪拼的方式把三角形三个内角剪下来拼成一个平角，从而得出三角形内角和是180°．
如图①，小明同学对于任意三角形ABC的内角和为180°进行了探究，即探究∠A+∠B+∠C＝180°．探究方法如下：小明过点A作直线NM∥BC，请你帮助小明完成（1）的解答过程：
【探究】（1）解：过点A作MN∥BC．
【应用】（2）根据上述结论回答下列问题：
①三角形ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ 70 °．
②三角形ABC的三个内角之比为1：2：3，则三角形ABC是 直角 三角形．
（3）在三角形ABC中，∠BAC＝50°，且三角形有两个内角相等，则这个三角形的最大内角为 65或80 °．
（4）如图②，在三角形ABC中，∠A＝60°，∠B和∠C的平分线交于点P，则∠P＝ 120 °．
【分析】（2）①根据平行线的性质，平角的定义即可求解；
②根据三角形内角和为180°和三个内角的比，以及三角形的分类即可求解；
（3）分∠BAC是顶角或底角两种情况讨论即可求解；
（4）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形内角和定理求出∠P．
【解答】解：（1）过点A作MN∥BC．
（2）①∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠NCB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠C＝70°．
故答案为：70；
②∵三角形ABC的三个内角之比为1：2：3，
∴最大角为180°×＝90°，
则三角形ABC是直角三角形．
故答案为：直角；
（3）当∠BAC是顶角，
∵∠BAC＝50°，
∴底角是（180°﹣50°）÷2＝65°；
当∠BAC是底角，
∵∠BAC＝50°，
∴顶角是180°﹣50°×2＝80°．
则这个三角形的最大内角为65°或80°．
故答案为：65或80；
（4）∵在三角形ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠B和∠C的平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
则∠P＝120°．
故答案为：120．
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