2022-2023学年吉林省长春市绿园区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市绿园区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春市绿园区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式进行的变形中，不正确的是(    )
A. 若3a=2b，则3a+2=2b+2 B. 若3a=2b，则9a=4b
C. 若3a=2b，则3a−5=2b−5 D. 若3a=2b，则a2=b3
2. 不等式x<1解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
3. 下列正多边形中，能够铺满地面的是(    )
A. 正方形 B. 正五边形 C. 正七边形 D. 正九边形
4. 下列选项中，点M与点N关于直线l对称的是(    )
A. B. C. D.
5. 下列各交通标志中，不是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
6. 若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是(    )
A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
7. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在(    )
A. E，H两点之间
B. E，G两点之间
C. F，H两点之间
D. A，B两点之间
8. 如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，若AD=2CE，则BC的长为(    )


A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 不等式：2x+6<0的解集是______ ．
10. 已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是______．
11. 点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转          °后能与原来的图案互相重合．






12. 如图，在△ABC中，点D，点E分别是BC，AB的中点，若△AED的面积为1，则△ABC的面积为          ．



13. 如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的度数是______ °.


14. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD交BA的延长线于点E，已知∠B=35°，∠E=25°，则∠ACD的度数为______ °.


三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
解方程：x+24−2x−36=1．
16. (本小题6.0分)
解方程组：2x+y=7, ①x−y=2. ②
17. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD//BE，若∠BAD=20°，求∠AEB的度数．

18. (本小题7.0分)
已知关于x的方程4x+2m=3x+4和方程4(x−1)=5x−2的解相同，求m的值．
19. (本小题7.0分)
小莉在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时，到B地后沿原路返回，速度增加50%，已知小莉由B地回到A码头的时间比去时少用了20分钟.求A、B两地的路程．
20. (本小题7.0分)
解不等式组：4x>2x−6x+13≥x−1，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解．

21. (本小题8.0分)
图①、图②、图③均为6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABC，使△ABC是轴对称图形．
(2)在图②中以线段AB为边画一个四边形ABDE，使四边形ABDE是轴对称图形但不是中心对称图形．
(3)在图③中以线段AB为边画一个四边形ABFG，使四边形ABFG是中心对称图形但不是轴对称图形．
22. (本小题9.0分)
为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．

23. (本小题10.0分)
【感知】如图①，在△MPN中，∠MPN=90°，点B、C分别在△MPN的边PM、PN上，以BC为边作△ABC，使点P在△ABC内，则∠PBC+∠PCB= ______ °.

【特例探究】在【感知】的条件下，若∠A=50°，则∠ABP+∠ACP= ______ °
【类比探究】在【感知】的条件下，∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系是______ ．
请给予证明．
【变式探究】如图②，在△MPN中，∠MPN=90°，点B、C分别在△MPN的边PM、PN上，以BC为边作△ABC，若点P在△ABC外，且点P与点C位于AB异侧，则∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系是______ ．
24. (本小题12.0分)
如图，在长方形ABCD中，AD=8，DC=6，点M是边AB的中点，动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿折线AD−DC向终点C匀速运动.当点P不与点C重合时，连结PM、PC、MC.设△PMC的面积为S，点P运动的时间为t(秒)．
(1)线段AM的长为______ ．
(2)当线段PD长度为2时，求t的值．
(3)当点P在线段AD上时，用含t的代数式表示△PMC的面积S．
(4)当△PMC的面积S恰好为长方形ABCD的面积的13时，直接写出t的值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A.∵3a=2b，
∴3a+2=2b+2，故本选项不符合题意；
B.∵3a=2b，
∴9a=6b≠4b，故本选项符合题意；
C.∵3a=2b，
∴3a−5=2b−5，故本选项不符合题意；
C.∵3a=2b，
∴a2=b3(等式两边都除以6)，故本选项不符合题意；
D.当a=0时，由a2=6a不能推出a=6，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据等式的性质逐个判断即可．
本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的性质1、等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．

2.【答案】C 
【解析】解：不等式x<1的解集在数轴上的表示为：

故选：C．
在数轴上利用空心圈标记−1，再画出向左拐的示意图，从而可得答案．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，掌握“不等式的解集在数轴上的表示方法”是解本题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：A.正方边形每个内角为90°，能整除360°，所以能铺满地面；
B.正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
C.正七边形每个内角为(9007)°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
D.正九边形每个内角为140°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
故选：A．
分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除360°即可．
此题考查了平面镶嵌(密铺)，计算正多边形的内角能否整除360°是解答此题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：∵如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，
∴只有D表示点M与点N关于直线l对称．
故选：D．
根据轴对称的性质解答即可．
本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
根据中心对称图形的定义可直接选出答案．
【解答】
解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；
B、C、D是中心对称图形，故B、C、D选项错误；
故选：A．  
6.【答案】C 
【解析】解：∵正多边形的各个内角都是140°，
∴正多边形的各个外角是180°−140°=40°，
∴这个正多边形的边数是360°÷40°=9．
故选：C．
由多边形的外角和是360°，正多边形内角与外角互补，即可求解．
本题考查正多边形的有关知识，关键是掌握多边形的外角和是360°．

7.【答案】A 
【解析】解：为使它稳固，根据三角形的稳定性，这根木条应钉在E，H两点之间，
故选：A．
根据三角形的稳定性解答即可．
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形的稳定性是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，
∴AD=BE=2×2=4(cm)，
∵AD=2CE，
∴CE=2cm，
∴BC=BE+CE=6(cm)，
故选：B．
根据平移的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．

9.【答案】x<−3 
【解析】解：移项得，2x<−6
两边同时除以2得，x<−3；
所以，不等式的解为x<−3．
利用不等式的基本性质：先移项，再系数化1即可求得不等式的解集．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变

10.【答案】2 【解析】解：根据三角形的三边关系可得：10−8 即2 故答案为：2 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

11.【答案】72 
【解析】
【分析】
此题主要考查了旋转图形，正确求出中心角的度数是解题关键．
直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【解答】
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴中心角为：360°5=72°．
则这个图形至少旋转72°才能与原图象重合，
故答案为：72．  
12.【答案】4 
【解析】解：∵点E是AB的中点，△AED的面积为1，
∴△ABD的面积=△AED的面积×2=2，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积=△ABD的面积×2=4，
故答案为：4．
根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．

13.【答案】95 
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠D=∠D′=130°，
∴∠C′=360°−130°−60°−75°=95°
∴∠α=∠C′=95°，
故答案为：95．
利用相似多边形对应角相等即可求解．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．

14.【答案】120 
【解析】解：∵∠DCE是△BCE的一个外角，
∴∠DCE=∠B+∠E，
∵∠B=35°，∠E=25°，
∴∠DCE=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠DCE=2×60°=120°，
故答案为：120．
根据三角形外角的性质得出∠DCE=∠B+∠E，在根据已知条件求出∠DCE的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠ACD的度数．
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

15.【答案】解：方程两边同乘以12得，12×x+24−12×2x−36=12，
去分母得，3(x+2)−2(2x−3)=12，
去括号得，3x+6−4x+6=12，
移项、合并同类项得：−x=0，
化系数为1得，x=0． 
【解析】直接去分母进而去括号，移项合并同类项，化系数为1得解．
此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．

16.【答案】解：①+②得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入②得：y=1，
则方程组的解为x=3y=1． 
【解析】点拨
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

17.【答案】解：∵BE//AD，
∴∠ABE=∠BAD=20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=20°，
∵∠C=90°
∴∠CEB=180°−∠C−∠EBC=180°−90°−20°=70°，
∴∠AEB=180°−70°=110°． 
【解析】先根据平行的性质，求得∠ABE=20°，再由角平分线定义得∠EBC=20°，根据三角形的内角和等于180°，可求∠CEB，最后根据补角定义求解．
本题主要考查了平行线的性质，及三角形的内角和定理，题目较简单．

18.【答案】解：4(x−1)=5x−2，
4x−4=5x−2，
4x−5x=−2+4，
−x=2，
x=−2，
∵关于x的方程4x+2m=3x+4和方程4(x−1)=5x−2的解相同，
∴把x=−2代入方程4x+2m=3x+4中得：
−8+2m=−6+4，
解得：m=3，
∴m的值为3． 
【解析】先解方程4(x−1)=5x−2，可得x=−2，然后根据把x=−2代入方程4x+2m=3x+4中得：−8+2m=−6+4，进行计算即可解答．
本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键．

19.【答案】解：设A、B两地的路程为x千米，
则x8−2060=x8×(1+50%)，
解得x=8．
答：A、B两地的路程为8千米． 
【解析】设A、B两地之间的路程为x千米，利用时间=路程÷速度，结合回到A码头比去时少花了20分钟，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

20.【答案】解：4x>2x−6①x+13≥x−1②，由①得，x>−3，由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：−3 在数轴上表示为：

其非负整数解为：0，1，2． 
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21.【答案】解：(1)如图①中，△ABC是等腰三角形即可(答案不唯一)．
(2)如图②中，四边形ABDE是等腰梯形或者筝形均可(答案不唯一)．
(3)如图③中，四边形ABFG是平行四边形即可(答案不唯一)．
 
【解析】(1)根据轴对称图形的定义画出图形(答案不唯一)；
(2)(3)根据中心对称图形，轴对称图形的定义画出图形(答案不唯一)；
本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义，属于中考常考题型．

22.【答案】解：(1)设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为(x−30)元，
根据题意得8x+10(x−30)=1320，
解得x=90，
所以x−30=90−30=60，
答：每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元．
(2)选择方案二更合算，理由如下：
90×20+60×30=3600(元)，
所以，按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，
选择方案一，总费用为：910×3600=3240(元)，
选择方案二，总费用为：2000+710×(3600−2000)=3120(元)，
因为3120元<3240元，
所以选择方案二更合算． 
【解析】(1)设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为(x−30)元，购买A型篮球的总费用为8x元，购买B型篮球的总费用为10(x−30)元，可列方程8x+10(x−30)=1320，解方程求出x的值，再求出x−30的值即可；
(2)先求得按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键．

23.【答案】90  40  ∠ABP+∠ACP=90°−∠A.  ∠A+∠ACP−∠ABP=90° 
【解析】解：【感知】在△BCP中，∵∠P=90°
∴∠PBC+∠PCB=90°；
故答案为：90．
【特例探究】在△ABC中，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠PCB+∠ACP，
∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=∠ABP+90°+∠ACP=130°，
∴∠ABP+∠ACP=130°−90°=40°；
故答案为：40．
【类比探究】∠ABP+∠ACP=90°−∠A
证明：∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠PCB+∠ACP，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
【变式探究】∠A+∠ACP−∠ABP=90°．
∵∠P=90°，
∴∠BPC+∠BCP=90°=∠PBA+∠ABC+∠BCP，
∴∠ABC+∠BCP=90°−∠PBA，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A=∠ABC+∠BCP+ACP，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A−∠ACP，
∴90°−∠ABP=180°−∠A−∠ACP，
∴∠A+∠ACP−∠ABP=90°．
故答案为：∠A+∠ACP−∠ABP=90°．
【感知】直接根据直角三角形的性质即可解答；
【特例探究】先求出∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，再根据角之间的关系得出∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=∠ABP+90°+∠ACP=130°即可解答；
【类比探究】∠ABP+∠ACP=90°−∠A，根据特例探究，由特殊到一般的思想即可用一样的方法解答；
【变式探究】∠A+∠ACP−∠ABP=90°.先由直角三角形的性质得出∠BPC+∠BCP=90°=∠PBA+∠ABC+∠BCP，化简得到∠ABC+∠BCP=90°−∠PBA，再根据∠ABC+∠ACB=180°−∠A=∠ABC+∠BCP+ACP即可解答．
本题考查三角形的性质和自己三角形的性质，数形结合理清角之间的关系是解题关键．

24.【答案】3 
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，
∵点M是边AB的中点，
∴AM=12AB=3，
故答案为：3；
(2)当点P在线段AD上时，PD=8−t，
当8−t=2时，t=6；
当点P在线段CD上时，PD=t−8，
当t−8=2时，t=10，
综上所述，当线段PD长度为2时，t的值为6或10；
(3)在长方形ABCD中，∵AD=8，DC=6，
∴BC=AD=8，AB=CD=6，
∵点M是边AB的中点，
∴BM=AM=12AB=3，
∴S△MBC=12BM⋅BC=12×3×8=12，
∵AP=t，DP=8−t．
∴S△AMP=12AB⋅AP=12×3⋅t=3t2，
S△PCD=12CD⋅DP=12×6×(8−t)=24−3t．
∴S=S长方形ABCD−S△MBC−S△AMP−S△PCD=48−12−3t2−(24−3t)=3t2+12；
(4)当点P在线段AD上时，PD=8−t，

∴S=6×8−12×3t−12×6(8−t)−12×8×3=13×6×8，
解得：t=83；
当点P在线段CD上时，PD=t−8，

∴S=6×8−12(3+t−8)×8−12×8×3=12×6×8，
解得t=10，
综上所述，当△PMC的面积S恰好为长方形ABCD的面积的13时，t的值为83或10．
(1)根据矩形的性质得到AB=CD=6，根据点M是边AB的中点，于是得到AM=12AB=3；
(2)当点P在线段AD上时，PD=8−t，当点P在线段CD上时，PD=t−8，列方程即可得到结论；
(3)根据矩形的性质得到BC=AD=8，AB=CD=6，根据点M是边AB的中点，得到BM=AM=12AB=3，根据三角形的面积公式即可得到结论；
(4)当点P在线段AD上时，PD=8−t，当点P在线段CD上时，PD=t−8，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．