安徽省合肥市第四十六中学2023—2024学年九年级上学期开学考试数学试题

安徽省合肥四十六中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列各数中，与是同类二次根式的是（    ）

A.   B.   C.   D.

2.用配方法解下列方程时，配方错误的是（    ）

A.化为   B.化为

C.化为    D.化为

3.某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是（    ）

A.万元   B.万元

C.万元   D.万元

4.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ）

A.   B.   C.   D.

5.如图，在中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且，.下列四个判断中，不正确的是（    ）

A.四边形AEDF是平行四边形

B.如果，那么四边形AEDF是矩形

C.如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形

D.如果且，那么四边形AEDF是正方形

6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ）

A.当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形EFGH为菱形

B.当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形EFGH为矩形

C.当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，，F为DE的中点.若的周长为18，则OF的长为（    ）

A.3   B.4   C.   D.

8.为了了解班上体育锻炼情况，班主任从八（1）班45名同学中随机抽取了8位同学开展“1分钟跳绳”测试，得分如下（满分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是（    ）

A.这组数据的众数是9，说明全班同学的平均成绩达到9分

B.这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小

C.这组数据的中位数是8，说明8分以上的人数占大多数

D.这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是8分

9.对于函数，下列结论错误的是（    ）

A.图象顶点是    B.图象开口向上

C.图象关于直线对称  D.函数最大值为-9

10.如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，且，有下列结论：

①是等边三角形；

②；

③周长的最小值为；

④面积的最大值为.

其中正确结论有（    ）

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）

11.有一组数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，则这组数据的方差是__________.

12.若m、n是方程的两不同的根，则的值为__________.

13.某抛物线的顶点为（3，-4），并且经过点（4，-2），则此抛物线的解析式为__________.

14.如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为__________.

15.在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm、6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是__________.

16.如图，在边长为2的菱形ABCD中，，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将沿MN所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是__________.

三、解答题

17.（6分）计算：.

18.（6分）解方程：.

19.（10分）如图，在中，，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得，连接BF、CF.

（1）求证：四边形AFCD是菱形；

（2）当，时，求BF的长.

20.（10分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是.

求：

（1）铅球在行进中的最大高度；

（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？

21.（12分）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案.

22.（12分）已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上.

（1）如图1，，求证：；

（2）如图2，，P为EF中点，求证：；

（3）如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长为_________.

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1.【分析】先把各项化简，再根据被开方数相同的即为同类二次根式.

【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故错误；

B、，与不是同类二次根式，故错误；

C、，与是同类二次根式，故正确；

D、，与不是同类二次根式，故错误；

故选：C.

【点评】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟记同类二次根式的定义.

2. 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案.

【解答】解：A、由原方程，得，

等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得；

故本选项正确；

B、由原方程，得，

等式的两边同时加上一次项系数-7的一半的平方，得，，

故本选项正确；

C、由原方程，得，

等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得；

故本选项错误；

D、由原方程，得，

化二次项系数为1，得

等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得；

故本选项正确.

故选：C.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

3. 【分析】根据3月份的产值是a万元，用把4月份的产值表示出来，进而得出5月份产值列出式子万元，即可得出选项

【解答】解：1月份的产值是万元，

则：2月份的产值是万元，

∵3，4月份平均月增长率为10%，

∴4月份的产值是万元，

故选：B.

【点评】此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用把3、4月份的产值表示出来.

4.【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，又，即，代入得，化简即可得到a与c的关系.

【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴，

又，即，

代入得，

即，

∴.

故选：A.

【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根.

5. 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形.

【解答】解：A、因为，所以四边形AEDF是平行四边形.故A选项正确.

B、，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形.故B选项正确.

C、因为AD平分，所以，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形.故C选项正确.

D、如果且不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误.故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点.

6. 【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可.

【解答】解：A.当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且时，存在，故四边形EFGH为菱形，故A正确；

B.当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且时，存在，故四边形EFGH为矩形，故B正确；

C.如图所示，若，，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；

D.如图所示，若，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；

故选：D.

【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关.

7.【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论.

【解答】解：∵，的周长为18，

∴.

∵F为DE的中点，∴.

∵，∴，

∴，∴，

∴.

∵四边形ABCD是正方形，

∴，O为BD的中点，

∴OF是的中位线，

∴.

故选：D.

【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中.

8. 【分析】根据众数、平均数、方差以及中位数的定义，求得它们的值，进而得出结论.

【解答】解：A.这组数据的众数是9，而全班同学的平均成绩达到8分，故本选项错误；

B.这组数据的方差是2，说明这组数据的波动较大，故本选项错误；

C.这组数据的中位数是8.5，说明8分以上的人数占大多数，故本选项错误；

D.这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是8分，故本选项正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查了众数、平均数、方差以及中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量.

9.【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决.

【解答】解：∵函数，

∴该函数图象的顶点坐标是（-2，-9），故选项A正确；

，该函数图象开口向上，故选项B正确；

该函数图象关于直线对称，故选项C正确；

当时，该函数取得最小值，故选项D错误；

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

10. 【分析】根据等边三角形与菱形的性质解答即可.

【解答】解：连接BD，

∵菱形ABCD中，，

∴与是等边三角形，

∴，，

∵，∴，

在和中

，，，

∴，

∴，，，

∴，

∴是等边三角形，故①正确；

∴，∴，

∵，

∴，

即，故②正确；

∵的周长，

∴等边三角形的边长最小时，的周长最小，

当时，最小

周长的最小值为，故③正确；

∵菱形ABCD边长为4，；

∴与为正三角形，

∴，

∴，

∵，∴，

设，则，

∴的面积

当时，

BEF的面积最大值为

故④正确；

综上正确的有①②③④共4个.

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分分，共24分.）

11.

【分析】先根据中位数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式进行计算即可.

【解答】解：∵数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，

∴，

∴这组数据的平均数是，

∴这组数据的方差是：.

故答案为：.

【点评】本题考查方差和中位数：一般地设个数据，的平均数为，则方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）.

12.-1

【分析】由一元二次方程的解可得出，进而可得出①，由根与系数的关系可得出②，将①②代入中即可求出结论.

【解答】解：∵是方程的根，

∴，

等式两边同时乘，得：.

∵m、n是方程的两不同的根，

∴，

∴

故答案为：-1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出，是解题的关键.

13.

【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可.

【解答】解：设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

所以抛物线解析式为，

故答案为.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.本题的关键是利用对称性确定抛物线与轴的交点坐标.

14. .

【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质得到，，，，根据勾股定理计算即可.

【解答】解：连接CM、CN，

由勾股定理得，，

∵、是直角三角形，M，N为斜边的中点，

∴，，，，

∴，∴，

故答案为：.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

15. 48或

【分析】首先补全三角形进而利用平行四边形的性质得出各边长进而得出答案.

【解答】解：如图1：

周长为：；

如图2：

∵，，，∴，

∴是直角三角形，

∴，，

∴周长为；

综上所述：原三角形纸片的周长是48或.

故答案为：48或.

【点评】此题主要考查了图形的剪拼，利用勾股定理求出AB的长是解题关键.

16.

【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可.

【解答】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在MC上时，过点M作于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点，

∴，，

∴，∴，

∴，∴，

∴.

故答案为：.

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出点位置是解题关键.

三、解答题

17.【分析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可.

【解答】解：.

【点评】本题主要考查了二次根式的加减及除法运算，注意理解最简二次根式的概念.

18.【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程整理得：，

即，

解得：，.

【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键.

19.【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）如图，作交BC的延长线于H.在中，根据勾股定理计算即可.

【解答】（1）证明：∵，∴，

∵E是AC中点，∴，

在和中，

，

∴，∴，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∵，，∴，

∴四边形AFCD是菱形.

（2）解：如图，作交BC的延长线于H.

∵四边形AFCD是菱形，

∴，，

∴，

∴四边形FHCE是矩形，

∴，，，

在中，.

【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

20. 【分析】（1）将所给二次函数写成顶点式，则顶点纵坐标即为所求的最大高度；

（2）令得：，解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离.

【解答】解：

∵

∴的最大值为3

∴铅球在行进中的最大高度为3m.

（2）令得：

解方程得，，（负值舍去），

∴该男生把铅球推出的水平距离是10m.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式求得；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题.

21.【分析】（1）总利润=每件利润×销售量.设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，再求当时x的值；

（2）根据函数关系式，运用函数的性质求最值.

【解答】解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，

根据题意得

（1）当时，，

解之得，.

根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元.

答：每件衬衫应降价20元.

（2）解：商场每天盈利.

所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元.

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.

【点评】本题重在考查根据题意写出利润的表达式是此题的关键.

22. 【分析】（1）作于M.证，得，.所以.

（2）作交BC于Q.证，可得.

（3）作交AD于M，作交CD于N，得，，，延长DC到P，使，证得，，再证得，设，则，，在中，由求得，再在中利用勾股定理求解可得.

【解答】解：（1）如图1，过点G作于M，

则，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴四边形ABMG是矩形，∴，

∵，∴，

∴，

又，∴，

∴，∴，

则；

（2）如图2，过点E作，交BC于点Q，

∵P是EF的中点，∴PC是的中位线，

则，，

∵，∴，

又∵，，

∴，

∴，

∵，∴，

则，

∴，

则，

∴；

（3）如图3所示，作交AD于M，作交CD于N，

则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，

∴，，，

∵，，∴，

延长DC到P，使，

∵，，

∴，

∴，，

∵，，，

∴，∴，

∴，即，

∴，

∴，

设，则，，

在中，由可得，

解得，

则，

故答案为：.

【点评】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点.