安徽省合肥市第四十八中学2023-2024学年九年级上学期上期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省合肥市第四十八中学2023-2024学年九年级上学期上期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（2，﹣4）
3．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
4．如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ）

A．B．C．D．
5．已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上一点，连接，若的面积为，则的值为（ ）
A．3B．C．6D．
7．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于( )
A．20°B．25°C．30°D．32.5°
8．如图，在中，D，E分别为，边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知关于x的二次函数的图象上有两点，且，则 与 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE•BD，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．﹣1B．1C．D．
二、填空题
11．已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则 （结果保留根号）．
12．如图，已知，D是的中点，E是的中点，则 ．

13．已知：如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为 ．
14．如图，在等腰三角形中，，延长到点，菱形的边在边上，过点作交于点，点是的中点，如果，则线段和的数量关系为 ，如果，，则的长为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
(1)画出关于y轴的轴对称图形；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．
17．如图，一次函数的图象交y轴于点，与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点坐标为．
(1)确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集．
18．如图，在中，为上一点，为上一点，如果，．
(1)求证：
(2)若，，，求的长．
19．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为．

(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树BC的高度约为多少米？（参考数据：，，）
20．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
21．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．
(1)求与的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
22．如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，、两点的坐标分别为、，抛物线经过B点，且顶点在直线上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若M点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．
23．如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、．

(1)求证：；
(2)连接，若，且为中点，求的值；
(3)若，移动点，使与相似，直接写出的值．
时间（天）
售价
日销售量（）
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．
【详解】A项是轴对称图形，不是中心对称图形；
B项是中心对称图形，不是轴对称图形；
C项是中心对称图形，不是轴对称图形；
D项是中心对称图形，也是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，掌握知识点是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）
故选C.
3．A
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
4．D
【分析】由题意知，，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，即，解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．D
【分析】根据比例的基本性质变形得到，整理后即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
故选：D
【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数求几何图形面积的方法是解题的关键．
如图所示，过点作的延长线于点，根据的面积为，设，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作的延长线于点，
∵，，轴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故选：．
7．A
【分析】连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．
【详解】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【详解】解：，
，，
，A正确；
，
，B错误；
，
，C错误；
，
，D错误，
故选：A．
9．B
【分析】求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断 与 的大小；
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离是解题的关键．
10．A
【分析】先证明通过△CDE∽△BDC说明∠BEC＝90°，取BC中点Q，则EQ＝BC＝1，FQ＝AC＝，再由E、F、Q三点共线时，EF可以取到﹣1，即可得到答案，
【详解】解：在△CED和△BDC中，
∵CD2＝DE•BD，
∴，
∵∠EDC＝∠CDB，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC＝∠DCB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠DEC＝90°，
如图，取BC中点Q，则EQ＝BC＝1，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝，
∵F为AB中点，Q为BC中点，
∴FQ＝AC＝，
∵EF≥FQ－EQ，当且仅当E、F、Q三点共线时，EF可以取到﹣1，
∴EF最小值为﹣1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明∠BEC＝90°，取BC中点Q，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半．
11．
【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：为线段的黄金分割点，，且，
．
故答案为：．
12．
【分析】过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作，交于点，

，
是的中点，是的中点，
，，
在和中，，
，
，
又，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
13．
【分析】过点O作OF⊥CD于F，连接OD，则∠OFE=90°，，再由含30度角的直角三角形的性质得到，由BE=1，AE=5，可以推出，则即可利用勾股定理求出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作OF⊥CD于F，连接OD，
∴∠OFE=90°，，
∵∠AEC=30°，
∴，
∵BE=1，AE=5，
∴AB=BE+AE=6，
∵AB是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于正确作出辅助线，构造直角三角形．
14．
【分析】延长FG交BC于点M，利用ASA证明△BGM≌△EGF，当∠A＝60°时，证明△ABC和△MCF为等边三角形，再利用菱形的性质，即可得到EF和BC的数量关系；当∠A＝90°，AB＝22时，先证明△ABC和△MCF为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边角关系即可得到菱形的边长．
【详解】解：如图，延长交于点，
四边形为菱形，
，
，
，，
，
，
设菱形的边长为，则，
在等腰三角形中，，如果，则为等边三角形，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
在等腰三角形中，，如果，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
15．
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键；
（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）由（1）及位似的性质可进行作图
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）先求得的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的的范围．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，在上，
∴，
解得，
∴；
（2）联立，
解得：，，
∴，
根据图象可知的解集为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键．
18．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据，可得，即有，结合，可得；
（2）根据，可得，即，问题随之得解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵在（1）中已证明，
∴，，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19．(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米
(2)大树的高度约为米
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）作于H，根据，得出，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可；
（2）延长交于点G，设，则，根据，得出，根据，得出，再根据，得出．最后根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作于H，如图1所示：
AI
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）解：如图2所示：延长交于点G，
设，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
∵，
∴，
解得：．
答：大树的高度约为米．

20．(1)见解析
(2)的半径为3
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟记切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：设的半径，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半径为3．
21．(1)
(2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解；
（2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为，
∴利润为：，
整理得，；
当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为，
∴利润为：，
整理得，；
综上所述，．
（2）解：由（1）可知，当时，，
∴当时，利润为元；
当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，，
∴当时，利润为元；
∵，
∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元．
22．(1)
(2)点C和点D在所求抛物线上
(3)，
【分析】（1）已知抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出的长，将A、B的坐标向右平移个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；
（3）根据C、D的坐标，易求得直线的解析式；那么线段的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可将代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为s的表达式，由此可求出s、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出m取最大值时，点M的坐标．
【详解】（1）解：∵的顶点在直线上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为，
∵点在此抛物线上，
∴，
∴，
∴所求函数关系式为：；
（2）在中，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，即：向右平移5个单位长度
∵A、B两点的坐标分别为、，
∴C、D两点的坐标分别是、；
当时，，
当时，，
∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线对应的函数关系式为，
则，解得：；
∴．
∵轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t，且；
则，，
∴，
，
即：，
∵，
∴当时，，此时．
此时点M的坐标为．

【点睛】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
（2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交与点，证明，得到，证明，列出比例式求解即可；
（3）分，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）证明：∵矩形，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设交与点，

∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵矩形，
∴，
①当时，则：，

∴点为的中点，
∵，
∴，
∴，即：，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，则：，
∴，
设，，则：，，
∴，
∴，
解得：，
∴
由①知：，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上：或或．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．本题的综合性较强，属于压轴题．