高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算同步练习题

5.2.3 简单复合函数的导数

分层作业

A层 基础达标练

1. 已知函数，且，则等于(  )

A. 1 B.  C. 2 D.

2. 设函数,则(  )

A.  B.  C.  D.

3. 函数的导数为(  )

A.  B.

C.  D.

4. 曲线在点处切线的斜率(  )

A.  B.  C. 6 D. 2

5. 函数的导数是.

6. 已知函数，则.

7. 已知函数，若，则.

8. 求下列函数的导数：

（1） ;

（2） ;

（3） ;

（4） .

B层 能力提升练

9. 已知函数，则(  )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

10. 曲线在点处的切线与直线和所围成的三角形的面积为(  )

A.  B.  C.  D. 1

11. （多选题）已知点在曲线上, 为曲线在点处的切线的倾斜角,则 的取值可以是(  )

A.  B.  C.  D.

12. （多选题）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是(  )

A.  B.

C.  D.

13. 设函数在内可导，其导函数为，且，则.

14. 设函数,若是奇函数,则.

15. 设函数,曲线与直线在点处相切,则,.

16. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是.（填序号）

；；；

；.

17. 有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离单位:关于时间单位:的函数为.求函数在时的导数,并解释它的实际意义.

18. 已知函数的定义域为，导函数为，若，均有，则称函数为上的“梦想函数”.

（1） 已知函数，试判断是否为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；

（2） 若函数，为其定义域上的“梦想函数”，求实数的取值范围.

C层 拓展探究练

19. （多选题）若曲线在点处的切线与直线平行,且两直线间的距离为 ,则直线的方程可能为(  )

A.  B.  C.  D.

20. 已知是函数的导函数，对任意的，，且.

（1） 若，求使成立的的取值范围；

（2） 若，求函数的取值范围.

5.2.3 简单复合函数的导数

分层作业

A层 基础达标练

1. A

2. C

3. B

4. C

5. （）

6. 2

7.

8. （1） 解令,则.

.

（2） 令，则,.

（3） 设,,则.

（4） ,.

B层 能力提升练

9. C

10. A

11. CD

12. AB

[解析]对于，，令,则，因为，，所以，所以在，上是凸函数，故正确；对于，，令,则，故在，上是凸函数，故正确；对于,，令,则，故在，上不是凸函数，故错误；对于,，令，则，故在，上不是凸函数，故错误.故选.

13.

14.

15. 0;

16. ①③⑤

[解析]，则,解得或，有“巧值点”；，无解，无“巧值点”；，方程有解，有“巧值点”；，方程无解，无“巧值点”；，方程有解，，有“巧值点”.

17. 解 函数可以看作函数和的复合函数,其中是中间变量.

由导数公式，得,.

由复合函数求导法则，得.

将代入,得

它表示当时,梯子上端下滑的速度为.

18. （1） 解函数不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下：的定义域为，，存在，使得，故不是其定义域上的“梦想函数”.

（2） ，所以.若函数在上为“梦想函数”，则在上恒成立，即在上恒成立.因为在上的值域为,，所以，所以实数的取值范围为,.

C层 拓展探究练

19. AB

[解析],所以在点处切线斜率为,则所求的切线方程为.

设直线的方程为,则,解得或，所以直线的方程为或.故选.

20. （1） 解由，得，即.令，则，为常数.因为，所以，所以.若，则，即，解得.故实数的取值范围是.

（2） 由，得，即.令，则，所以为常数，则，所以.又，所以，所以，则，所以.令，可得.当时，；当时，，解得，此时或.综上，的取值范围是.