河南省南阳市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

河南省南阳市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

一、单选题

1．若，则（　　）

A．0 B． C． D．

2．数列的第5项为（　　）

A．0 B． C． D．

3．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（市制长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（　　）尺．

A． B． C． D．

4．设等比数列的前项和为10，前项和为60，则该数列的前项和为（　　）

A．360 B．720 C．1560 D．1800

5．设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则数列的前2023项的积为（　　）

A． B． C． D．

6．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制数的形式是（　　）

A． B． C． D．

7．若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数列”的（　　）  

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．现有长为的铁丝，要截成小段，每段的长度为不小于的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

二、多选题

9．已知递增数列满足，，则下列说法正确的有（　　）

A．若数列为等差数列，则

B．若数列为等差数列，则

C．若数列为等比数列，则

D．若数列为等比数列，则

10．若，则（　　）

A． B．

C． D．

11．若数列为等差数列，为其前项和，，，，则下列说法正确的有（　　）

A．公差 B．

C． D．使的最小整数为14

12．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（　　）

附：

A．50 B．45 C．40 D．35

三、填空题

13．若，则　     　．

14．一个等比数列的公比，且它的每一项都是它后面两项的等差中项，则公比　     　．

15．已知数列满足：，，，则　     　．

16．设是数列的前项和，且满足，且，则　     　，　     　．

四、解答题

17．   

（1）求函数的导函数；

（2）求曲线在点处的切线方程．

18．已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

19．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据 ，其中 和 分别表示第 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得 ， ， ， ， . 

参考公式：相关系数 ，对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .

（1）请用相关系数说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；  

（2）求 关于 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？  

20．已知等差数列的公差为，其前项和为，若，且是和的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

21．设等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足 ，求的前项和.

22．已知数列中，，点在直线上，其中

（1）令，求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出，若不存在，请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】导数的四则运算

【解析】【解答】∵，∴.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合导数公式得出导数。

2．【答案】C

【知识点】数列的概念及简单表示法；运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】数列的第5项为.

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法，进而得出数列第五项的值。

3．【答案】D

【知识点】等差数列的前n项和

【解析】【解答】设第2天比前一天多织布尺，

根据题意得，解得，

所以第2天比前一天多织布尺，

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，从而将实际问题转化为等差数列的问题，再利用等差数列前n项和公式得出公差的值，再结合等差数列的定义得出第2天比前一天多织布的尺数。

4．【答案】C

【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质

【解析】【解答】设等比数列的前n项和为，公比为，

则，，，，成等比数列，公比为，

因为，，

所以

所以，

所以，

所以，

所以.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合等比数列前n项和公式合等比数列的性质，进而得出该数列的前项和。

5．【答案】D

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的应用

【解析】【解答】因为，

所以，曲线在点处的切线斜率为，

所以，曲线在点处的切线方程为，

所以，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，

所以，数列的前项的积为，

所以，数列的前2023项的积为.

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在点处的切线方程，进而得出曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，从而结合数列的通项公式得出数列的前项的积，再由代入法得出数列的前2023项的积。

6．【答案】D

【知识点】进位制

【解析】【解答】二进制数转换成十进制数的形式是：

.

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合进位制转化的方法得出二进制数转换成十进制数的形式。

7．【答案】C

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】必要性显然成立；下面来证明充分性，

若 ，所以当 时， ，

所以 ，化简得 ①，

所以当 时， ②，

①②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.

故选：C.

【分析】必要性显然成立；由 ， ，得 ①，同理可得 ②，综合①，②，得 ，充分性得证，即可得到本题答案.

8．【答案】B

【知识点】数列的求和

【解析】【解答】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，

因n段之和为定值，欲n尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，

所以第二段为1，

又因为任意三条线段都不能构成三角形，

所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，

又因为每段的长度尽可能小，

所以第三段为2，

为了使得n最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，

依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35，

这时n达到最大为9.

故答案为：B.

【分析】利用截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，再利用n段之和为定值，欲n尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，进而得出第二段的长，再利用任意三条线段都不能构成三角形，所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，再结合每段的长度尽可能小，进而得出第三段的长，为了使得n最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，进而得出每段的长，再结合数列求和公式得出每段的和，与89相差1，因此可以得出最后一段的长，从而得出这时n达到的最大值。

9．【答案】A,C

【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式

【解析】【解答】若数列为等差数列，则，，

解得或（舍去），故，，解得，

若数列为等比数列，，，

解得或（舍去），，，解得，

对A：，正确；

对B：，错误；

对C：，正确；

对D：，错误；

故答案为：AC

【分析】利用已知条件结合等差数列的性质、等比数列的性质，进而得出数列的首项和公差或公比的值，再结合等差数列和等比数列的通项公式，进而得出数列的项，从而得出说法正确的选项。

10．【答案】B,C

【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则

【解析】【解答】由可得：，

令，则，

解得：，B符合题意，A不正确；

所以，令，则，

C符合题意，D不正确

故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，从而找出正确的选项。

11．【答案】A,B,D

【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质

【解析】【解答】，则；，则；

，则，

对A：，故，正确；

对B：，正确；

对C：，故，错误；

对D：，，正确.

故答案为：ABD

【分析】利用已知条件结合的关系式，再结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而找出说法正确的选项。

12．【答案】A,B

【知识点】独立性检验的应用

【解析】【解答】可设男生有人，依题意得女生有人，填写列联表如下：

若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，

即，解得，

由题意知，且是5的整数倍，所以满足题意．

故答案为：AB．

【分析】可设男生有人，依题意得女生有人，再利用已知条件结合列联表中的数据，再结合有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，从而利用独立性检验的方法得出x的取值范围，由题意知，且是5的整数倍，进而得出满足要求的x的取值。

13．【答案】

【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则

【解析】【解答】由已知，所以．

故答案为：．

【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出导函数的值。

14．【答案】-2

【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列的递推公式

【解析】【解答】，故，，则，

解得，（舍）

故答案为：-2

【分析】利用已知条件结合等比数列的性质和等差中项公式，进而得出，再结合一元二次方程求解方法得出满足要求的公比的值。

15．【答案】1或8

【知识点】数列的递推公式

【解析】【解答】因为，，

若为奇数，则，解得：，不合题意；

若为偶数，则，解得：，符合题意；

若为奇数，则，解得：，符合题意；

若为偶数，则，解得：，符合题意；

故答案为：1或8.

【分析】利用已知条件结合数列的递推关系和分类讨论的方法，进而结合代入法得出数列的首项的值。

16．【答案】；

【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和

【解析】【解答】，则，解得，（舍去负值），

当时，，整理得到，

故数列是首项为4，公差为4的等差数列，故，

，故，验证时满足，故；

.

故答案为：；.

【分析】利用已知条件结合的关系式和分类讨论的方法以及等差数列的定义判断出数列是首项为4，公差为4的等差数列，再利用等差数列的通项公式和，故，验证时满足，故，再结合的关系式和代入法得出数列第十项的值。

17．【答案】（1）解：因为，

则；

（2）解：因为，则，所以，，，

所以，曲线在点处的切线方程为，即.

【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程。

18．【答案】选①②作条件证明③：

设 ，则 ，

当 时， ；

当 时， ；

因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；

所以 ，所以 .

选①③作条件证明②：

因为 ， 是等差数列，

所以公差 ，

所以 ，即 ，

因为 ，

所以 是等差数列.

选②③作条件证明①：

设 ，则 ，

当 时， ；

当 时， ；

因为 ，所以 ，解得 或 ；

当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；

当 时， ， 不合题意，舍去.

综上可知 为等差数列.

【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ③：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ③ ；
若选 ①③作条件证明②： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1，n的关系式 ，进而证明 是等差数列.；
选②③作条件证明①： 先设 ，进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分ｎ为1，n>1，推导出 ，显然 为等差数列 。

19．【答案】（1）解：由题意知，相关系数 .  

因为 与 的相关系数接近1，

所以 与 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合

（2）解：由题意可得， ，  

，

所以 .

当 时， ，

所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨

【知识点】线性回归方程

【解析】【分析】 (1)首相计算相关系数r，根据|r|与1的接近程度，即可判断；
（2）由参考公式求得和的值，即可得线性回归方程，再把x=10代入回归方程即可得解．

20．【答案】（1）解：根据题意，可得，解之得，

数列的通项公式为．

（2）解：由（1）可知，，

，

数列的前项和．

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比数列的性质

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，进而得出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由（1）结合等差数列的前n项和公式得出，所以，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。

21．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为.

由，得，

解得，

所以；

（2）解：由可得

当时，，

当时，

所以，，

又，

两式相减得

所以

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和

【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由结合数列的通项公式和分类讨论的方法可得数列 的通项公式，再结合错位相减的方法得出 的前项和。

22．【答案】（1）证明：由已知得，即，又，

又

数列是以－1为首项，以为公比的等比数列.

（2）解：由（1）知，，

将以上各式相加得：，

（3）解：存在，使数列是等差数列．

由（1）可知：．

，

当且仅当，即时，，数列为等差数列．

【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和

【解析】【分析】（1） 由已知结合代入法和直线的方程，进而得出，再利用和 ， 进而得出，再结合等比数列的定义证出数列是以－1为首项，以为公比的等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合和累加法得出数列的通项公式 。
（3） 存在，使数列是等差数列，由（1）结合等比数列前n项和公式得出，进而得出，再结合等差数列的定义判断出存在使得数列为等差数列。