专题03 函数的周期性和对称性-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)

函数的周期性和对称性

一 函数的周期性

1 概念

对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.

Eg：

上图是三角函数的图像

① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；

② 红色图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；

   (思考：是周期么)

③ 整个函数，对于任何，都有.

(简单说来，两个自变量相差，它们对应的函数值均相等)

下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2 常见的结论

① 若 ，则的周期是.

② 若 ，则的周期是；(你可证明试试)

③ 若，则的周期是.

二 函数的对称性

1 函数图象自身的对称关系

① 轴对称：若则有对称轴.

② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.

2 两个函数图象之间的对称关系

① 轴对称

若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称.

特殊地，函数与函数的图象关于直对称.

② 中心对称

若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称.

特殊地，函数与函数图象关于点对称.

3 周期性与对称性拓展

① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期；

② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ；

③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期

   ；

特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期.

【题型一】函数的周期性

【典题1】 设是周期为的奇函数，当时，，则  

【解析】是周期为的奇函数，当时，，

.

【典题2】 设偶函数对任意，都有，且当时，

，则　　．

【解析】，

，

函数是以为周期的函数．

当时，，

．

故答案为：．

【点拨】

① 在求值过程中，比如本题中求，先用函数周期性把这个数值变小些，尽量向靠拢.

② 函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.

巩固练习

1(★★) 已知定义在上的奇函数，满足，且在上单调递减，则(　)

【答案】

为上的奇函数，且满足，

是以为周期的函数，

，

，

，

又在区间上单调递减，

，即．

故选：．

2(★★) 已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当

时，       .

【答案】

【解析】当时，．

，

故选：．

3(★★★)设函数是定义在上的奇函数，满足，若，

，则实数的取值范围是      .

【答案】

【解析】由，可得，

则，故函数的周期为，

则，

又函数是定义在上的奇函数，，

．

，解得．

实数的取值范围是．

【题型二】函数图象自身的对称关系

【典题1】定义在上的函数的图象关于点(，0)成中心对称且对任意的实数都有

且，则      .

【解析】，  

则

是周期为的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和便可)

则

函数的图象关于点(，0)成中心对称，

【典题2】已知函数，则(　　)

函数的图象关于对称      函数的图象关于对称 

函数的图象关于对称      函数的图象关于对称

【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性

对于选项：若函数的图象关于对称，则是偶函数，

而不是偶函数，错误；

对于选项，可以采取类似选项的方法排除；

对于选项：若函数的图象关于对称，则则函数向左和向下均平移个单位的函数关于原点对称，即是奇函数.

易得是奇函数，正确；

对于选项：若函数的图象关于对称，则函数向左和向下均平移个单位的函数关于原点对称，即是奇函数.

而不是奇函数，错误．

故选．

  方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系

利用函数自身的轴对称关系:若则有对称轴.

对于选项：若函数的图象关于对称，则有

而错误；

   对于选项：若函数的图象关于对称，则有

   而错误；

 利用函数自身的中心对称关系：

 若为常数),则函数的图象关于点对称.

   对于选项：若函数的图象关于对称，则

   易得，正确；

   对于选项：若函数的图象关于对称，则

   而显然不恒等于8，错误．

故选．

 方法三 取特殊值排除法

  对于选项：，，故函数的图象不可能关于对称，排除； 

  对于选项：，故函数的图象不可能关于对称，排除；

   对于选项：，故函数的图象不可能关于对称，排除；

   故选．

【点拨】

① 从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；

② 方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；

③ 方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；

对于函数自身的轴对称和中心对称关系

(1) 轴对称:若则有对称轴.

对于选项，令,有，即证明是偶函数便可.

(2) 中心对称:若函数满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.

对于选项，令，，有,

即证明是奇函数.

【题型三】两个函数图象之间的对称关系

【典题1】下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是(　　)

【解析】设所求函数图象上任意一点，

 则关于对称的点在上，即，

 所以  

 故选：．

【典题2】 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是    .

【解析】设为所求函数图象上的任意一点，

它关于直线对称的点是．

由题意知点在函数的图象上，

则，即．

【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.

巩固练习

1(★★) 已知函数的对称中心为，则　 　；　   ．

【答案】，  

，

结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为

的对称中心为，

故答案为：1，6

2(★★) 【多选题】函数的图象关于直线对称，那么(　　)

函数是偶函数        函数是偶函数

【答案】

【解析】由的图象关于对称可知，，，

把函数的图象向左平移个单位可得的图象，关于对称，即为偶函数，把函数的图象向右平移个单位可得的图象，关于对称，

故选：．

3(★★★) 已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为(　)

【答案】

【解析】函数的图象关于直线对称，

可得，

即，

即有，

可得，

即，

可得，且，解得，

可得，

则．故选：．

4(★★★) 已知函数，则(　　)

  的图象关于点对称 的图象关于直线对称 

  在上单调递减        在上单调递减，在上单调递增

【答案】  

0，则函数定义域为，，，

即，有关于点对称的可能，

进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，

，定义域为，奇函数且单调递增，

为向右平移两个单位得到，

则函数在单调递增，关于点对称，

故选：．

5(★★) 同一平面直角坐标系中，函数与的图象(　　)

．关于原点对称                 ．关于轴对称 

．关于轴对称                  ．关于直线对称

【答案】  

【解析】可看做由的图象右移个单位，

而的图象可看做由的图象向左平移个单位，

且与的图象关于轴对称，

故函数与的图象关于轴对称．

故选：．

6 (★★★) 【多选题】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则(　　)

函数是周期函数        函数的图象关于点对称 

函数为上的偶函数    函数为上的单调函数

【答案】

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于，函数满足，则，即函数是周期为的周期函数，正确；

对于B，奇函数，则的图象关于原点对称，又由函数的图象是由向左平移个单位长度得到，故函数的图象关于点对称，正确；

对于，由可得：对于任意的，都有，

即0，变形可得，

则有对于任意的都成立，

令，则，即函数f(x)是偶函数，正确；

对于，为偶函数，则其图象关于轴对称，在上不是单调函数，错误；

故选：．