山东省临沂市罗庄区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下学期期中教学质量检测

高一数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号，回答出选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数的虚部是（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的概念直接求解即可

【详解】因为复数为，

所以它的实部为；虚部为.

故选：D.

2. =（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据两角差的正弦公式，可直接求得答案.

【详解】

，

故选:B

3. 与向量平行的单位向量为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】与向量平行的单位向量为，计算得到答案.

【详解】与向量平行的单位向量为，

即或.

故选：C.

4. 要得到函数的图象，需（    ）

A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

C. 将函数图象上所有点向左平移个单位．

D. 将函数图象上所有点向左平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.

【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；

将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到

的图象，故B 错误；

将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；

D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.

故选：D.

5. 在中，，．若点满足，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：，故选A．

6. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.

【详解】根据函数的图象，可得，可得，

所以，

又由，可得，即，

解得，

因为，所以.

故选：A.

7. 八卦是中国文化的基本哲学概少，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中给出下列结论（    ）

①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】C

【解析】

【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可.

【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误；

对②：，平分，则，②错误；

对③：∵，则，③正确；

对④：∵，即与的夹角为，   

∴向量在向量上的投影向量为，④错误.

故选：C.

8. 已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 正三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.

【详解】因为，所以，即，

由正弦定理可得：，

因为，所以，

因为，所以，所以，可得，

所以，解得，

因为，所以，即，

所以，可得，所以，

所以形状是正三角形，

故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设有下面四个命题，其中的假命题为（    ）

A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则

C. 若复数，满足，则 D. 若复数，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.

【详解】对于A中，设复数，

可得，

因为，可得，所以，所以A正确；

对于B中，取，可得，所以B不正确；

对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；

对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.

故选：BC.

10. 下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据二倍角的余弦公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的余弦公式即可判断C；根据二倍角的正弦公式即可判断D.

【详解】对于A，，故A符合题意；

对于B，，故B符合题意；

对于C，

，故C不符合题意；

对于D，，故D符合题意.

故选：ABD.

11. 有下列说法，其中错误的说法为（    ）．

A. 若∥，∥，则∥

B. 若，则是三角形的垂心

C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向

D. 若∥，则存在唯一实数使得

【答案】AD

【解析】

【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.

【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；

对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；

对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.

故选：AD

【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

12. 已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（       ）

A. 若，则一定是等腰三角形

B. 若，则

C. 若为锐角三角形，则

D. 若，则为锐角三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角形的性质，可判断A、B的正误，根据正弦函数的性质及诱导公式，可判断C的正误，根据数量积公式，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：若，由正弦定理边化角得，

所以，即，

所以或，

所以或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B：若，由正弦定理角化边得，

根据三角形内大边对大角可得，角，故B正确；

对于C：若为锐角三角形，则，

所以，

因为在上为增函数，

所以，故C正确；

对于D：由题意得，

所以，即角A为锐角，但无法得到角B、C是否为锐角，

所以不能得到为锐角三角形，故D错误.

故选：BC

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知复数z的虚部为1，且为纯虚数，则____________．

【答案】

【解析】

【分析】由纯虚数的定义列方程求出复数的实部，再由模的公式求.

【详解】因为复数的虚部为1，故可设，

所以，

由为纯虚数可得且，所以，

所以.

故答案为：.

14. ____________．

【答案】##

【解析】

【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式即可得解.

【详解】

.

故答案为：.

15. 如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量共线以及数量积运算律，即可求解.

【详解】由得，

设，所以，

故当时，取最大值，

故答案为：

16. 已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由三角形面积公式，由已知条件结合余弦定理可得，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则可得，，则利用三角函数恒等变换公式和正弦函数的性质可求得其范围.

【详解】∵，∴，

∵，由余弦定理可得，

∴，解得，

∴，

∵，∴，.

所以

，

∵，∴，∴.

因此，

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知复数、是方程的解．

（1）的值；

（2）若复平面内表示的点在第三象限，为纯虚数，其中，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用韦达定理可求得的值；

（2）求出复数，利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.

【小问1详解】

解：对于方程，，所以，方程有两个不等的虚根，

因为复数、是方程的解，由韦达定理可得，，

因此，.

【小问2详解】

解：由可得，

因为复平面内表示的点在第三象限，则，

所以，为纯虚数，且，

所以，，解得.

18. 已知三点，，，P为平面ABC上的一点，且，．

（1）求；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出，再根据数量积的坐标表示即可求出；

（2）设，根据数量积的坐标表示由，求出，然后由，根据向量相等列出方程组，解出即可．

【小问1详解】

由，，，得，

所以；

【小问2详解】

设，则，

由，解得，

所以，

因为，即，

所以，解得，

所以

19. 已知为锐角，，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式结合商数关系化弦切计算可得；

（2）首先求出，再根据同角三角函数的基本关系求出、，最后由利用两角差的正切公式计算可得.

【小问1详解】

由，

得；

【小问2详解】

因为为锐角，则，

所以，

故，

因为，，

所以，

故，

则

.

20. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知            ．

（1）求B；

（2）若D为AC的中点，，，求△ABC的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）3种选法都要先根据正弦定理，将边化为角，结合三角恒等变换即可得；

（2）为的中点，所以，两边平方，再根据余弦定理即可得．

【小问1详解】

若选①，

由正弦定理可得，

因为，所以，

即，

因为，所以，所以，则；

若选②，则，

由正弦定理可得，又，

所以，即，

因为，则；

若选③，则，

由正弦定理可得，

即，

所以，

所以，又，所以，

因为，则；

【小问2详解】

因为为的中点，所以，因为，

所以，

即，解得或（舍去），

所以．

21. 如图，在平面四边形中，，，，，．

（1）求的值；

（2）求的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，判断出为等腰三角形，即可求得的值；

（2）计算出的值，以及，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理可求得的长.

【小问1详解】

解：在中，，，，

由余弦定理可得，

整理可得，，解得，则，

故为等腰三角形，故.

【小问2详解】

解：由（1）知，，又因为，则，

因为，则为锐角，

且，

所以，

，

在中，由正弦定理，

可得.

22. 已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．

（1）求的表达式；

（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程，在区间上有两个实数解，求实数k的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数的恒等变换可得，根据对称性及周期求出，从而得到的表达式；

（2）根据三角函数图象变换可得，再根据函数与在区间上有且只有两个交点，由正弦函数的图象可得实数的取值范围．

【小问1详解】

，

由题意知，最小正周期，又，所以，

∴；

【小问2详解】

将的图象向右平移个个单位后，

得到的图象，

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到的图象，所以，

令，∵，∴，

在上有且只有两个实数解，

即函数与在区间上有且只有两个交点，

即函数与在区间上有且只有两个交点，

由正弦函数的图象可知，