2022-2023学年河南省郑州市六校联盟高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河南省郑州市六校联盟高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点为，为复数z的共轭复数，则（    ）

A．8 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，得到复数和，结合复数模的运算公式，即可求解.

【详解】由复数在复平面内对应的点为，可得复数，所以，

则．

故选：C．

2．已知，其中为复数的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法和除法运算进行计算，然后根据共轭复数的定义即可求解.

【详解】由题意得，所以．

故选：D．

3．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将正三棱锥的侧面展开，结合侧面展开图，得到要使的周长的最小，则共线，再由正三棱锥的结构特征和数量关系，即可求解.

【详解】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示，

因为，即，

由的周长为，

要使的周长的最小，则共线，即，

又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，

所以，即虫子爬行的最短距离是.

故选：B.

4．已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质和向量的坐标表示求解即可；

【详解】设顶点D的坐标为，

由题意知，,根据向量的坐标运算解得；，

解得：，即顶点D的坐标为，

故选；A.

5．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（    ）

A．的长度大于的长度

B．的面积为4

C．的面积为2

D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法确定原图形，由此判断各选项.

【详解】由图象知：，，

，为的中点

所以，A错误；

的面积，B正确；

因为，，

所以的上的高，

的面积，C错误，

，所以，D错误.

故选：B

6．已知，是不共线向量，且，，，则（    ）

A．，，三点共线 B．，，三点共线

C．，，三点共线 D．，，三点共线

【答案】A

【分析】根据平面向量线性运算性质，结合平面向量共线的性质进行判断即可.

【详解】因为，，，

所以，

所以，，三点共线，故A正确，

因为，是不共线向量，若存在实数使得，则，

所以，显然方程无解，

所以不存在实数使得，所以，，三点不共线，故B错误；

同理，，三点也不共线，故C错误；

又，

所以不存在实数使得，故，，三点不共线，故D错误；

故选：A

7．的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出.

【详解】因为，，的面积为，

所以,所以.

由余弦定理得：.

故选：D.

8．已知复数z满足，则的最小值为（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解．

【详解】设复数在复平面内对应的点为，

因为复数满足，

所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，

所以在复平面内点的轨迹为，

又表示点到点的距离，

所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，

当为时，到定点的距离最小，最小值为1，

所以的最小值为1，

故选：A．

二、多选题

9．下列说法正确的是（   ）

A．在中，若，则－定是钝角三角形;

B．在中，角的对边分别为，若，则是等腰三角形;

C．在中，角所对的边分别为，若，则一定是等腰三角形;

D．在中，若，则是一定钝角三角形．

【答案】BD

【分析】对于选项A：利用向量积定义及向量夹角知为锐角不能判断形状；对于选项B：由及正弦定理得，结合三角恒等变换得；对于选项C：由及正弦定理得，结合倍角公式得，从而可得或，再判断形状即可；对于选项D：结合正弦定理及余弦定理可判断出为钝角，故可判断形状.

【详解】对于选项A：，故为锐角，但不－定是钝角三角形，故A错误;

对于选项B：由及正弦定理得，

故，

所以，

即，即，

因为，所以，故是等腰三角形，故B正确;

对于选项C：由及正弦定理得，所以，

因为，所以或即或，故是等腰三角形或直角三角形，故C错误;

对于选项D：由及正弦定理得，

由知为钝角，故是一定钝角三角形，故D正确．

故选：BD

10．已知两个单位向量和的夹角为，则（    ）

A．向量在向量上的投影向量为

B．向量与向量的夹角为

C．向量在向量上的投影向量为

D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据向量的模长、数量积公式及投影向量的定义即可求解．

【详解】选项A：向量在向量上的投影向量为，选项正确；

选项B；

解得向量与向量的夹角为，选项错误；

选项C；向量在向量上的投影向量为：

选项正确；

选项D；

当选项正确；

故选：ACD．

11．点为所在平面内一点，则（   ）

A．若，则点为的重心

B．若，则点O为的垂心

C．若．则点O为的垂心

D．在中，设，那么动点的轨迹必通过的外心

【答案】AD

【分析】根据三角形四心的定义，结合向量数量积的几何意义，对题目中的四个选项逐一进行运算判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．

【详解】A．由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为的重心；选项A正确.

B．向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心；选项B错误.

C．是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为的外心．选项C错误.

对于D，设是的中点，，

即，所以，

所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心.选项D正确.

故选：AD.

12．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．为定值

D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据题意，利用向量的线性运算，得到，结合、、三点共线，求得，再化简得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】如图所示，因为，即，所以，

又因为，，

所以，，所以，

因为、、三点共线，则，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.

故选：BCD．

三、填空题

13．在中，角的对边分别为，若，则角的值为           ．

【答案】

【分析】利用正弦定理直接求解即可.

【详解】因为，

由正弦定理，即，解得，

又因为，所以

故答案为：

14．已知平面向量，则向量与的夹角为          .

【答案】

【分析】根据结合数量积的坐标运算即可得解.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以.

故答案为：.

15．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则      ．

【答案】2

【分析】将根代入方程，化简即可得到，列方程组即可求得.

【详解】将代入方程得：，

即，即，

所以，解得，

所以.

故答案为：2

16．在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是         ．

【答案】

【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，则，根据的范围即可求出的范围.

【详解】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，

由题意得，，因为为中点，所以，

设，则，

，，则，

，则，

故答案为：.

四、解答题

17．解答下列各题：

(1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；

(2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得.

（2）由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可.

【详解】（1）（1）设复数，

因为为实数，所以，则复数，

又因为为纯虚数，

则，得，

所以复数．

（2），

由复数表示的点位于第四象限，可得，解得，

当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，

∴m的取值范围为.

18．平面内给出三个向量，，，求解下列问题：

(1)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；

(2)若，求实数k的值．

【答案】(1)且

(2)

【分析】（1）因为与的夹角为锐角，且与不同向共线，从而得到不等式，求出实数的取值范围；

（2）根据向量垂直得到数量积为0，得到方程，求出实数k的值.

【详解】（1），，

因为与的夹角为锐角，所以，

且与不同向共线，即，解得且．

（2），，

因为，所以，

解得．

19．如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点. ，设.

(1)用表示；

(2)如果，用向量的方法证明：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据平面向量基本定理结合平面向量的线性运算即可得解；

（2）利用数量积的运算律证明即可.

【详解】（1）由题意，

，

；

（2）由（1）得

，

所以.

20．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．

(1)求挖掉的正三棱柱的体积；

(2)求该几何体的表面积．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由三棱柱的体积公式计算即可；

（2）根据几何图形性质解得圆锥底面圆半径和圆锥高，利用圆锥表面积、矩形的面积公式计算即可.

【详解】（1）因为正三棱柱的底面边长为，高为2，

则，

所以正三棱柱的体积．

（2）在正三棱柱中，由（1）知，，

，

设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为，

有，即，

令的中点为，连接，则，

且，，，

于是，解得，

则圆锥的母线长，

圆锥的底面圆面积，侧面积，

三棱柱的表面积为，

所以该几何体的表面积为：

.

21．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？

(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

【答案】(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向

(2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船

【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案；

（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案.

【详解】（1）由题意，可得，

则 ，

在中，由正弦定理，即，

解得，因为，所以，所以为水平线，

所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．

（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，

在中，可得，

由正弦定理得，

因为为锐角，所以，

所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．

22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．

(1)求角C的大小．

(2)若，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择条件①利用余弦定理化简整理可得，得；选择条件②，利用正弦定理角化边即可得，即；选择条件③，利用正弦定理和三角恒等变换可得，即；（2）由（1）中结论利用正弦定理可知，，化简得即可求得其范围.

【详解】（1）选择条件①．

由余弦定理得．

整理得，

所以由余弦定理得．

又因为，所以．

选择条件②．

由正弦定理得，整理得，

由余弦定理得．

又因为，所以．

选择条件③．

由正弦定理得．

整理得，

所以．

因为，所以．

显然，所以．

又因为，所以．

（2）因为，，

所以由正弦定理得，即．

因为，所以，

所以．

因为，所以，所以，

故的取值范围是．