河南省郑州市十校联考2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(含答案)

河南省郑州市十校联考2022-2023学年高一下学期期中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为(   )

A. B. C. D.

2、已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的(   )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3、若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为(   )

A. B. C. D.

4、中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则A=(   )

A. B. C. D.

5、我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（   ）

A. B. C. D.

6、已知圆O的半径为2，A，B是圆上两点且，MN是一条直径，点C在圆内且满足，则的最小值为(   )

A.－2 B.－1 C.－3 D.－4

7、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为(   )

A.1 B. C. D.

8、在四边形ABCD中，，且，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、与向量共线的单位向量有(   )

A. B.

C. D.

10、下列命题正确的是(   )

A.若复数z满足，则；

B.若复数z满足，则z是纯虚数；

C.若复数，满足，则；

D.若复数，满足且，则．

11、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(   )

A.圆柱的侧面积为

B.圆锥的侧面积为

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为

12、已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(   )

A.若是锐角三角形，则

B.若，则是等腰三角形

C.若，则是等腰三角形

D.若是等边三角形，则

三、填空题

13、如图，在中，D是AC边上的点，且，则的值是________．

14、设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．

15、如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r,则____________．

16、如图，在中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则____________，的最小值为_____________.

四、解答题

17、已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．

18、已知，．

（1）当k为何值时，与共线？

（2）当k为何值时，与垂直？

（3）当k为何值时，与的夹角为锐角

19、如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．

20、已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，且，求的周长.

21、已知a，b，c，，请判断与的大小，并用向量方法证明所得的结论．

22、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求的取值范围．

参考答案

1、答案：D

解析：，因此，.因此，复数z的虚部为.故选：D.

2、答案：A

解析：因为与的夹角为锐角，则且与不共线.时，，当时，则与不共线时，，所以与的夹角为锐角的充要条件是，显然是的真子集，即“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A正确.故选：A

3、答案：B

解析：设该圆锥的底面半径为r，母线长为2l，则该圆锥的侧面积，截得的小圆锥的底面半径为，母线长为l，其侧面积，而圆台的侧面积．故两者侧面积的比值．故选：B

4、答案：C

解析：试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.

5、答案：B

解析：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积.故选：B.

6、答案：C

解析：试题分析：由图可知：，，又因为MN是圆的一条直径，故，是相反向量，且，，因为点C在圆内且满足，A，C，B三点共线，当C为AB的中点时，取得最小值1，故的最小值为-3.

7、答案：D

解析：由正弦定理，，可得，即由于：，所以，因为，所以．又，由余弦定理可得.即，所以.故选D．

8、答案：D

解析：，则四边形ABCD为平行四边形，设，，，都是单位向量，，则，，，则，所以，因此由知，且AC是的平分线，因此ABCD是菱形，而，所以，故选：D.

9、答案：AD

解析：（方法一）设所求向量为，则由已知可得解得或所以或，故选：AD．

（方法二）与向量共线的单位向量，因为，所以，所以或，故选：AD．

10、答案：BD

解析：A选项，若，则，但不是实数，所以A选项错误.B选项，依题意，，设，则，所以，所以为纯虚数，B选项正确.C选项，，，则，但，C选项错误.D选项，设，，其中a，b不同时为，依题意，，即，所以，，即，由于a，b不同时为0，所以，所以，所以D选项正确.故选：BD

11、答案：CD

解析：A选项，圆柱的侧面积为，A选项错误.B选项，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，B选项错误.

C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确.D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D选项正确.故选：CD

12、答案：ACD

解析：对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为A,B为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.故选：ACD.

13、答案：

解析：设则，，，

如图所示：

过点A作，在中，所以，解得，所以，在中，利用正弦定理，，整理得．故答案为：．

14、答案：或

解析：由题知，，与的夹角为，以的起点为原点O，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，化简得，即，所以终点P落在以为圆心，半径为的圆上，易知在圆内，，所以的最大值为，故答案为：.

15、答案：

解析：由题可知, 小球的体积等于水面上升的体积, 因此有 , 化简可得,

16、答案：2，或

解析：设，，B，D，E，C共线，

，，，又，，，，显然，，

所以

当且仅当且即，时取等号故答案为：2，．

17、答案：（1）；

（2）或

解析：（1）设，则，，因为和均为实数，所以，解得，所以，则；

（2），因为对应的点在第四象限，所以，解得或.

18、答案：（1）

（2）

（3）且

解析：（1）因为，，所以，，因为与共线，所以，解得

（2）因为，，所以，，因为与垂直，所以，即，所以

（3）因为，，所以，，

因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，解得且

19、答案：（1）

（2）当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为

解析：（1）圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．

（2）设圆柱的底面半径为r，如图可得，即，得．所以圆柱的侧面积．所以当时，S取得最大值．即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．

20、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，利用正弦定理可得，化为，所以，，，.

（2），且，所以，，由余弦定理可得，所以，，解得，因此，周长为.

21、答案：，证明见解析

解析：结论：.

证明：设向量，，由于，（其中为向量u，v的夹角），故，所以，其中等号成立的条件是，同向或反向.

22、答案：（1）

（2）．

解析：（1）由，所以，可得，即．由余弦定理得，又，所以．

（2）由，因为，所以，又，所以，所以，得，所以，所以.