2022-2023学年河南省郑州市第一中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河南省郑州市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】根据复数模的定义即可得到答案.

【详解】，

故选：C.

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是

A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱

【答案】D

【分析】根据用一个平面去截旋转体均可以得到圆面，平面截棱柱得到的截面为一个多边形，即可求解.

【详解】根据旋转体的定义，可知用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，

根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面，

故选D.

【点睛】本题主要考查了旋转体的定义及截面的形状的判定，其中解答中熟记旋转体的定义和旋转体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.

3．欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据欧拉公式有，判断即可确定对应点所在象限.

【详解】由题意知：，而，

∴，故对应点在第二象限.

故选：B

4．在ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】B

【分析】由正弦定理求出或，再检验即得解.

【详解】由正弦定理得

因为,所以或，

因为BC＝1＜AB＝，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

5．已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用扇形的弧长公式和面积公式计算即可.

【详解】由题意知，

设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，

则，底面圆周长为，

又扇形的弧长为，

所以，解得，得，

所以底面圆的面积为，扇形面积为，

所以圆锥的表面积为.

故选：A

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    )

A．正三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状.

【详解】由知，，

∴＝，

，，

，

∴，

∵在△ABC中，，

∴，

∵，∴，

即△ABC为直角三角形．

故选：C．

7．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ）

A．20 B．12 C． D．

【答案】A

【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.

【详解】由题设，则原四边形中，又，

故，且，

所以四边形的周长为.

故选：A

8．已知中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，由给定条件探求出，再推导出即可作答.

【详解】如图所示，中，为的中点，于是有，

因，则，线段AD是的中线，

依题意，从而有，即有，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B

二、多选题

9．如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（    ）

A．几何体是一个六面体

B．几何体是一个四棱台

C．几何体是一个四棱柱

D．几何体是一个三棱柱

【答案】ACD

【分析】根据棱柱、棱台的概念判断即可；

【详解】解：在长方体中，，，所以，

因为有六个面，所以几何体是一个六面体，故A正确；

因为，所以侧棱的延长线不能交于一点，故不是四棱台，故B错误；

因为几何体的侧棱平行且相等，四边形与四边形是平行且全等的四边形，

所以几何体为四棱柱，

同理几何体是一个三棱柱，故C、D正确；

故选：ACD

10．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数 D．复数的模

【答案】BCD

【分析】化简得，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.

【详解】，

，所以复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；

虚部为，故B正确；

复数的共轭复数，故C正确；

复数的模，故D正确；

故选：BCD.

11．设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则点D是边BC的中点

B．若，则直线AD经过的垂心

C．若，则点D在边BC的延长线上

D．若，且，则是面积的一半

【答案】ABD

【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据垂心的性质及数量积公式即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.

【详解】对A，，即，

即，即点是边的中点，故A正确；

对B，设的中点为，

，

即，故AD过的垂心，故B正确；

对C，，

即，

即，

即点在边的延长线上，故C错误；

对D，，且，

故，且，

设，

则，且，

故三点共线，且，

即是面积的一半，故D正确.

故选：ABD.

12．设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．“”的充要条件是“”

B．若，则的最大值为3

C．若，，则

D．方程在复数集中有6个解

【答案】ABD

【分析】对于A，由复数与共轭复数的概念即可判定；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方计算即可；对于D，由复数的运算计算即可.

【详解】对于A，若是实数，则，显然，

若，则显然是实数，故A正确；

对于B，由复数的几何意义可知在复平面中以原点为圆心的单位圆上，即该圆上一点到的距离，如图所示，显然最大值为3，故B正确；

对于C，由复数的乘方可知此时，故C错误；

对于D，，

若，若或9，即或或或或或共六组解，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．设向量，，若，则           .

【答案】2

【分析】根据给定条件借助向量共线的坐标表示即可得解.

【详解】因向量，，且，

于是得，解得,

所以.

故答案为：2

14．已知复数和满足，且，则的最小值是      ．

【答案】4

【分析】利用复数的几何意义，在复平面中数形结合即可.

【详解】设，由可得，

即，

又，则在以为圆心，1为半径的圆上，

如图所示，当时，此时的最小值为4.

故答案为：4

15．在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为       

【答案】2

【详解】试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．

∵M、O、N三点共线，

【解析】平行向量与共线向量．

16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是  

【答案】

【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．

【详解】如图，设，则,

在和中，分别由余弦定理可得，

两式相加，整理得，

∴．①

由及正弦定理得，

整理得，②

由余弦定理的推论可得，所以．

把①代入②整理得，

又，当且仅当时等号成立，

所以，故得．

所以．

即面积的最大值是．

故答案为．

【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．

四、解答题

17．已知是同一平面的三个向量，其中．

（1）若，且，求的坐标；

（2）若与的夹角的余弦值为，且，求．

【答案】（1）或；（2）

【分析】（1）根据题意得，再结合得，进而得答案；

（2）根据题意得，再结合可得，解方程即可得答案.

【详解】解：（1）∵，∴存在实数使得，

∵，∴，解得，

∴或.

（2）∵，与的夹角的余弦值为

∴，

∵，∴，

∴ ，解得.

【点睛】本题考查向量的共线与垂直的坐标表示，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握向量共线与垂直定义与坐标表示，进而求解.

18．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；

(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.

【答案】(1)海里

(2)游船应该沿北偏东的方向航行.

【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离；

(2)两边两角，由正弦定理可以求角.

【详解】（1）解：(1)在中，

，根据余弦定理得：.

.

所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.

（2）解：(2)根据正弦定理得：

解得

在中，

为锐角

.

由得游船应该沿北偏东的方向航行

答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.

19．已知复数是一元二次方程的一个根.

（1）求和的值；

（2）若，，为纯虚数，求的值.

【答案】（1）；（2）4.

【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；

（2）化简，由实部为且虚部不为求出的值，然后利用复数模的计算公式求解.

【详解】（1）是一元二次方程的一个虚根，则是一元二次方程的另一个虚根，

，得，

，解得，

因此，；

（2）是纯虚数，

则，即，因此，.

【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.

20．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.

(1)求的值;

(2)若为线段上任意一点，求的最小值.

【答案】(1);(2)

【解析】（1）以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；

（2）先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.

【详解】(1)在梯形中，因为，，所以，

;

(2)令，

则，即，

令，则，，

所以当时，有最小值.

【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.

21．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面枳和体积（尺寸如图，单位：cm）．

注：

【答案】体积；表面积

【分析】根据球体、柱体、四棱台的表面积及体积公式计算即可.

【详解】易知三视图复原的几何体下部底座是棱台，中部是棱柱，上部是球，

故这个奖杯的体积

；

如上图所示奖杯底座上下中心设为D、B两点，I、K、J、L分别为上下棱的中点，

则由三视图可得，

同理可得，

故这个奖杯的表面积：

．

22．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合向量运算、正弦定理求得，由此求得.

（2）利用正弦定理将表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得的取值范围、

【详解】（1）在中，，

∵，

∴，

即，

由正弦定理得：，

∴，∴，

又，∴，∴.

（2）由正弦定理得：，∴，，

∴

，

∵，∴，即，

∴，，

∴，

即.