专题12 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练-2022-2023学年七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

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专题12 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：

若，则，即
3.定和型中点模型：

若，分别是，的中点，则
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：

（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．




变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．

（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？




题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．

(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．






变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．

（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．







题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．

(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．



变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ 　，n＝ 　；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．





题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．


变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.















【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或

变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或

变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．


2.数形结合思想
 以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。  在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。

例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；

（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．



变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．

变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝　　cm；

②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；

③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）

（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．





3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．

(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．



变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．(1)若，，求线段MN的长；(2)若，，求线段MN的长．







4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ）

A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．

(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．





变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．

(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．













课后专项训练
1．（2022·山西·右玉县七年级期末）一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．

2．（2022·江苏·七年级期末）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点（1）如图1，若AC＝4，BC＝6，求CF的长；（2）若AB＝16CF，求的值；（3）若AC＞BC，AC﹣BC＝a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长（用含a的式子表示）．





3.（2022·河南七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上．

（1）图中共有 　 　条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC　　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．





4.（2022·广西·七年级期末）已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB＝24．求MN的长．





5.（2022·浙江·七年级期末）已知直线l依次三点A、B、C，AB＝6，BC＝m，点M是AC点中点
（1）如图，当m＝4，求线段BM的长度（写清线段关系）．
（2）在直线l上一点D，CD＝n＜m，用m、n表示线段DM的长度．




6.（2022·山东·七年级期末）如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；
（2）若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由．（3）若将（2）中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．




7．（2022·江苏·七年级专题练习）已知线段，点在线段上，且．

(1)求线段，的长；(2)点是线段上的动点且不与点，，重合，线段的中点为，设①请用含有的代数式表示线段，的长；②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“共谐点”，请直接写出使得，，三点为“共谐点”的的值．





8．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，已知点C在线段上，M是的中点，点N在线段上，且．

(1)若，求线段的长；(2)若，则________（直接写出结果）；
(3)若已点知C在线段的延长线上，M是的中点，点N在线段上，，求的长．




9．（2022·福建泉州·七年级期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．
(1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．





10．（2022·北京海淀区·北大附中七年级期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点．

（1）点B表示的数为________；（2）若线段，则线段OM的长为________；
（3）若线段（），求线段BM的长（用含a的式子表示）．





11．（2022·河南义马市·七年级期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）．

（1）当时，①________cm，②此时线段CD的长度=_______cm；（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．




12．（2022·重庆一中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．

（1）________，________，________．
（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．
（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．








13．（2022·昌图县十八家子中学）如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点．（1）点出发多少秒时，；
（2）当点在线段上运动时，求的值；（3）若点为的中点，请直接写出的长．





14．（2022·江西东湖区·）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．



15．（2022·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.

（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.



16．（2022·绵阳市七年级期末）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．

17．（2022·绵阳市·七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，

（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．



18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．
  
例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．

（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．

（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．
①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．