2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期3月质量监测数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期3月质量监测数学试题

一、单选题

1．已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.

【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，

因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；

对于B，假设共线，则存在，使得，

即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；

对于C，因为，所以两向量共线，

不能作为一组基底，C错误；

对于D，假设共线，则存在，

使得，

即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，

故选:C.

2．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：函数在上单调递减，

又，，，

所以，则有唯一零点，且在区间内.

故选：C

3．已知，，，则等于（    ）

A．12 B．28 C． D．

【答案】C

【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到.

【详解】

，

故.

故选：C

4．已知函数，则的值是（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据的范围代入到对应的函数求值即可.

【详解】由题意可得，，

.

故选：D.

5．在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，向量，的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.

【详解】由题知，，，向量，的夹角为150°，

所以.

故选：A．

6．若，则为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】原式分子分母除以，即可求出，再利用两角和的正切公式，即可求得结果.

【详解】由，

得，

则.

故选：B

7．等式有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简，由三角函数的有界性得出等式右边的范围，解不等式可得的取值范围．

【详解】，则，

即，且，

化简得，平方得，即

解得

故选：C

8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A．72 B．74 C．76 D．78

【答案】B

【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．

【详解】由于，所以，

依题意，则，

则，

由，

所以，即，

所以所需的训练迭代轮数至少为74次．

故选：B

二、多选题

9．下列叙述不正确的是（    ）

A．若，则

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题：，，则命题的否定：，

D．函数的最小值是4

【答案】BD

【分析】对于A．由不等式的性质验证；

对于B．解对数不等式，再判断；

对于C．由全称命题的否定验证；

对于D．举反例．

【详解】对于A．由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，故A正确；

对于B．由得，则，即“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；

对于C．由全称命题的否定知，命题：，，的否定为，，故C正确；

对于D．当时，，故函数的最小值不为4，故D错误．

综上所述，选项BD不正确，

故选：BD.

10．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量相等、向量的模、向量的数量积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，是两个单位向量，

单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.

单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.

当时，，所以C选项结论错误.

故选：AC

11．下列选项中其值等于的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确．

故选：BD.

12．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据向量相等的定义可直接判断D；

根据题意可判断A；

根据重心的性质可判断B；

利用向量数乘和加减法法则可判断C.

【详解】如图：

根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且.

对于A，∵，∴，故A正确；

对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，显然不正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知向量，，若三点共线，则      .

【答案】

【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案．

【详解】三点共线，

与共线，

，解得．

故答案为：．

14．若指数函数的图象经过点，则不等式的解集是                      ．

【答案】

【分析】设指数函数（且），将点代入求出解析式，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解.

【详解】由题意设函数（且），

因为的图象经过点，所以，解得，

所以，

因为，即，

所以由在上递减得，解得，

故答案为：

15．赵爽是我国古代数学家､天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为49，若直角三角形较小的锐角为，则的值为           .

【答案】

【分析】设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，求出，，即得解.

【详解】解：设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，

所以，即，解得或（舍去），

直角三角形较小的锐角为，可得，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．如图，在平面四边形ABCD中，，，，E，F分别为边BC，CD的中点，则        ；与夹角的余弦为        .

【答案】         

【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解.

【详解】以AD为x轴，以AC为y轴建立直角坐标系，则：

，，，故：

；

【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，计算向量的数量积以及夹角的求解.

五、解答题

17．已知向量，.

(1)当时，求的值；

(2)当，，求向量与的夹角.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；

（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）向量，，则，

由，可得，

即，即，解得或.

（2）由，，则，

由，可得，解得，

所以，，，

又，所以.

18．如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，

（1）利用单位圆､向量知识证明：

（2）若，，，，求的值

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；

（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案．

【详解】（1）由题意知：，且与的夹角为，

所以，

又，，

所以，

故．

（2）且，则；

，则，又，，，

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．

19．已知函数．

(1)当时，求关于x的不等式的解集．

(2)若，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；

（2）不等式因式分解得到，分，与三种情况，求出不等式的解集.

【详解】（1）时，，解得：，

故解集为；

（2）时，，

变形为，

当时，，解得，

当时，解得，

当时，，解得，

综上：当时，解集为，

当时，解集为，

当时，解集为.

20．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．

(1)用，表示，；

(2)如果，，且，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；

（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出.

【详解】（1）解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，

所以，

.

（2）解：由（1）可知，，

所以，由，可得，

所以

．

21．已知向量，，.

（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；

（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.

【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；

（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.

【详解】（1）因为

所以函数的最小正周期；

因为函数的单调增区间为，，

所以，，

解得，，

所以函数的单调增区间为，；

（2）不等式有解，即；

因为，所以，又，

故当，即时， 取得最小值，且最小值为，

所以.

22．已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．

（1）求m、n的值；

（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．

（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．

【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．

【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．

（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．

（3）问题转化为r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范围即可．

【详解】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．

可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，

（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，

不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，

可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，

f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（）=﹣，可得k＜﹣．

（3）g(x)==x+﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2x在x∈[﹣1，1]上有零点，

即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，

即r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，

令t=，则r=2t2﹣3t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，

即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，

r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），

∴﹣≤r≤3，∴r的范围是[﹣，3]．