2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期4月质量监测数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期4月质量监测数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用诱导公式化为只含有两个角的三角函数的积与和差的式子,然后逆用两角和差的三角函数公式化为一个特殊角的三角函数,从而得解.

【详解】由题意可知cos66°=sin24°，cos54°=sin36°，

所以原式=cos24°cos36°cos66°cos54°=cos24°cos36°sin24°sin36°

=cos(24°+36°)=cos60°=，

故选：B.

【点睛】本题考查两角和差的三角函数公式的逆用，关键是先利用诱导公式调整为只含有两个角的三角函数的积与和的形式.

2．复数（其中是虚数单位）在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】本题首先可通过复数的除法运算得出，然后根据对应的点为即可得出结果.

【详解】，

在复平面内所对应的点为，在第一象限，

故选：A.

3．在则，下列四个式子中不为常数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由内角和定理以及诱导公式可作出判断.

【详解】，故选项A为常数；

，故选项B不为常数；

，故选项C为常数；

，故选项D为常数.

故选：B.

4．瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据欧拉公式可得，根据复数的模的公式结合余弦的二倍角公式可得答案.

【详解】根据欧拉公式可得

所以

故选：C

5．平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，由题意可得出，由此可求得实数的值.

【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、、，

，，，

所以，，

，，则，

因此，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量垂直求参数，解题的关键就是选择合适的位置建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解.

6．函数的最小值是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令并求范围，则，进而有，根据二次函数的性质即可求最小值.

【详解】令，

∴，

∴，

∴当，有最小值.

故选：D

7．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案.

【详解】因为，由三角函数线的图像

可知，则

故选：A

【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题.

8．在中，角均在边上，且为中线，为平分线，若，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合向量线性表示及向量数量积性质得到，然后结合角平分线性质可求，然后结合三角形面积公式可求．

【详解】解：由题意得，，

所以，

即，

因为，，

，

由角平分线性质得，，

整理得，，

所以，

因为，

所以，

两边平方得，

因为，令，

所以，

解得，即，

故的面积．

故选：．

二、多选题

9．已知z复数，则下列结论正确的是（    ）

A．是实数 B．是纯虚数

C． D．

【答案】AC

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的模直接求解．

【详解】解：对于，设，，则是实数，故正确；

对于，设，，则，当时是实数，故错误；

对于，设，，则，，故正确；

对于，设，，则，，故错误．

故选：．

10．在△中，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用正弦定理有，当有△为直角三角形且唯一，当时仅当三角形唯一，即可知正确选项.

【详解】令所对的边为，由正弦定理知：，即，

∴如上图，当在处即，有，则，△为直角三角形，此时三角形唯一；

当在射线上，即时三角形唯一，则.

综上知：BD正确.

故选：BD

11．已知()，则下列说法正确的是（    ）

A．若的最小正周期为，则

B．若在内无零点，则

C．若在内单调，则

D．若时，直线是函数图象的一条对称轴

【答案】BCD

【分析】利用二倍角余弦公式、辅助角公式可得，结合各选项的条件及正弦型函数的性质判断正误即可.

【详解】，

A：最小正周期为，则，错误；

B：在内无零点，则无零点，所以，即，正确；

C：在内单调，则内单调，所以，即，正确；

D：时，则，可得对称轴方程为，，故当时是函数图象的一条对称轴，正确.

故选：BCD

12．已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：

A．线段A、B的中点的广义坐标为（）；

B．A、B两点间的距离为；

C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；

D．向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0

【答案】AC

【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．

【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；

只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；

由向量平行的充要条件得C正确；

与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；

故选AC．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件．

三、填空题

13．已知，，，则向量、的夹角为              .

【答案】

【分析】本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果.

【详解】设向量、的夹角为，

因为，所以，

即，，

，，

因为，所以，

故答案为：.

14．如图，图像是由（且）个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若，则        .

【答案】

【分析】本题可设正方形的边长为，然后根据题意得出、，最后根据两角和的正切公式即可得出结果.

【详解】设正方形的边长为，

则，，

因为，

所以，解得或（舍去），，

故答案为：.

15．请写出复数的一个平方根          .

【答案】

【分析】设，，，则，，由此能求出结果．

【详解】解：设，，，

则，，

解得，，或，，

复数的平方根为：．

故答案为：．

四、双空题

16．已知由，，可推得三倍角余弦公式，已知，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得              ；如图，已知五角星是由边长为的正五边形和五个全等的等腰三角形组成的，则          

【答案】         

【分析】由结合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出关于的二次方程，结合可求得的值；求得，，过点作，垂足为点，求得，，然后利用平面向量数量积的定义可求得结果.

【详解】因为，所以，，

即，即，即，

因为，解得.

在五角星中，，，，故，

从而可得，，

过点作，垂足为点，则，于是，

从而有，于是，

所以，

.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知向量

（1）若三点共线，求实数的值；

（2）若四边形为矩形， 求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值．

（2）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值，再求和．

【详解】解：（1）向量，，，

所以，，

由，，三点共线知，，

即，解得；

（2）由，，

，

，

若四边形为矩形，则，

即，解得；

由，得，

解得，，

所以．

18．已知为虚数单位.

（1）计算：；

（2）若，求复数.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据复数的运算性质计算即可；（2）设，求出，的值，求出即可．

【详解】（1）.

（2）设，

则由，得，

则解得或

则或.

19．已知满足，且

（1）求的值；

（2）求的大小.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出、，再利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算可得；

（2）利用和角公式求出、，再根据角的范围，求出角的值．

【详解】解：（1），，

，

，

；

（2），

因为

所以

20．已知函数．

（1）若，且，求的值；

（2）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.

（2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围.

【详解】（1）因为

，

由，得，因为，所以，

所以，

所以

．

（2）由，因为，所以，

所以，即．

由正弦定理，可得，．

因为是锐角三角形，所以，即．

所以．

由，得，所以．

21．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR与AB平行，交AC于点R.

（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；

（2）试求街道RQ长度的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为千米.

【分析】（1）结合已知角及线段长，利用锐角三角函数定义及扇形面积公式可求；

（2）由已知结合锐角三角函数定义及勾股定理可表示，然后结合同角平方关系，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质可求．

【详解】连接AP，过R作，垂足为D.

（1）当P为弧BC的中点时，，

在△APQ中，，，故，

在△ARD中，，，所以，则，

所以，

在直角三角形PRQ中，△PQR的面积.

（2）设，则，

又，则，所以，

在直角三角形PRQ中，

，其中

因为，所以，又，

所以当时，有最小值为，即.

综上，街道RQ长度的最小值为千米.

22．已知，，设.

（1）当时，求的值域；

（2）若锐角满足，且不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）根据向量的数量积，求得的表达式化简，再根据的取值范围求出的值域即可.

（2）根据，可求的角的值，再根据不等式

转化为,结合基本不等式即可求出的取值范围.

【详解】解: （1）已知，，

,

因为,则,

,

故的值域为:.

（2）由（1）得,

因为锐角满足,

,

解得,

又因为

即①

又因为

带入不等式①

因为在锐角中,

所以,

所以

故的取值范围为.

【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角函数及基本不等式的应用。