江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期5月学业水平质量调研数学试卷

南通市通州区金沙中学         

 高二年级第二学期5月学业水平质量调研 

                      数学试卷                2023.05

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  展开式中二项式系数最大的项是(    )

A.     B.     C. 和 D. 和

2.  某市2018年至2022年新能源汽车年销量单位：千台与年份代号x的数据如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为(    )

A. 25 B. 28 C. 30 D. 32

3.  已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是(    )

A.  B.  C.   D.

4.  已知随机变量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去 A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有(    )

A. 24             B. 36           C. 30              D. 20

7.  已知在上单调递增，则实数a的取值范围为(    )

A.       B.       C.     D.

8.  存在，使不等式成立，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗，流传至今，经久不息．在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为X，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 随机变量X服从二项分布
C. 随机变量X服从超几何分布 D.

10.  某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是(    )

A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C. 若甲不去A区，乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服每箱防护服均相同，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法

11.  在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且，，，则(    )

A. 当时，
B. 当时，异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积的最大值为1
D. 不论取何值，都有

12.  三次函数有如下性质：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设三次函数，则以下说法正确的是(    )

A. 函数的“拐点”为
B. 过函数的“拐点”有三条切线
C. 当时，函数有两个极值点，且两个极值点之和为
D. 若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于__________用，，表示

14.  已知，则__________.(用数字作答）

15.  我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则__________.

16.  已知不等式恒成立，则k的最大值为__________.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  已知函数，且在处的切线方程是

求实数a，b的值;

求函数的极值.

18.  如图，在三棱锥中，，，为正三角形，D为AB的中点，，

求证：平面PAC；

求PD与平面PBC所成角的正弦值．

19.  某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛.若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为
    求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；
    进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望.

20.  如图，在四棱锥中，，，E为棱PA的中点，平面

求AD的长；

若，平面平面PBC，且，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
 

21.  在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如下表：

根据表中数据分析：是否有的把握认为变量x与y具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程精确到；

已知参加该次考试的10000多考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于分的人数Y的数学期望．

参考数据：

参考公式：①对于一组数据，，…，，

样本相关系数，当时，，其回归直线的斜率为

②对于一组数据：，，…，，其方差

③若随机变量，则，，

22. 已知函数，其中且

讨论的单调性;

当时，证明：

求证：对任意的且，都有：其中为自然对数的底数

答案和解析

1.【答案】C 

解：中二项式系数最大的应该是第4项和第5项，
则通项公式为，
故， 

2.【答案】C 

解：由已知，回归直线方程为过样本点中心，
，即，  

3.【答案】A 

解：对于选项A，，所以，
故在平面内.  

4.【答案】D 

解：因为，，所以，
所以，所以，所以，
所以，，所以  

5.【答案】A 

解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥.

根据题意得：，，，

由全概率公式，得：

6.【答案】C 

解：分土木同色和异色两种情况讨论，可得共计30种.  

7.【答案】A 

解：由，得
因为在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
当时，，所以所以实数a的取值范围为

8.【答案】D 

解：由条件得，，即，
令，则，，则，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，，所以，
所以存在，使得，所以，

9.【答案】ACD 

解：由题意知随机变量C服从超几何分布，故B错误，C正确；
，故A正确；，
，故D正确．

10.【答案】ABD 

解：对于A，若四个区都有人去，则有种不同的安排方法，故A正确；
对于B，先选择3个区，则，4个人分为3组的为2，1，1，然后进行排列，则不同的安排方法种，故B正确；
对于C，当甲去B区，则有种，当甲去C，D一个区，乙不去B区，剩下的全排，则，则共有种，故C错误；
对于D，每人先分两个，剩余10个，利用隔板法分成4份，则有种.  

11.【答案】ABD 

解：当时，E，F分别为AB，BC的中点，则，A正确，
建立如图所示的空间直角坐标系，
当时，点，，，，
则，，
异面直线与所成角的余弦值为，B正确，又，，
从而，当且仅当时等号成立，故C错误，
当取任意值时，，，
，，
，，故D正确，

12.【答案】ACD 

解：对于A，，，令得，
由题意得函数的“拐点”为，故A正确；
对于B，对于函数，，，显然的“拐点”为，
设过“拐点”的切线的切点为，，
则切线方程为，代入，得，解得，
所以过“拐点”的切线只有一条，故B错误；
对于C，，，若函数有两个极值点，
则有两个不等的实根，
故，即，且两个极值点为的两根，
由根与系数之间的关系得两个极值点之和为，故C正确；
对于D，若，则，
由A项分析及题意知，函数的对称中心为，
即若，则，
设，
又，
两式相加得：，
故，故D正确.

13.【答案】 

解：

14.【答案】 

解：令，得①，再令，得②，
②-①得，

15.【答案】 

解： ，，所以 

16.【答案】 

解：不等式变形为：，
因为在单调递增，故，变形得到，
构造，，则，当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，可知，故，k的最大值为  

17.【答案】解：由，得
由在处切线方程是，知切点为，斜率为，
所以，解得
，
，令，得，
当x变化时，及的变化情况如下表：

由表可知，当时，取得极大值无极小值. 

18.【答案】解：证明：取 AC中点E，在接 PE，
因为为正三角形，，又，，PD，平面PDE，
平面PDE，又平面PDE，，
，E分别为AB，AC中点，，故，
，即，PC，平面PAC，，
平面
由得，平面PAC，平面PAC，，则PE，AE，DE两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，
，，，
设平面PBC的一个法向量为，则
，取，则，，
所以，
则PD与平面PBC所成角的正弦值等于， 

19.【答案】解：记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，
学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则
甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，分，分，
则，，
，，
，
所以X的概率分布列为：

所以数学期望 

20.【答案】解：如图，过E作，交PD于点M，连接CM，

因为，所以，且 E、B、C、M四点共面.
又因为平面平面BCME，平面平面，
所以，
所以四边形BCME是平行四边形，所以，
又因为E为AP中点，所以，
因为，，所以为正三角形.
E为棱PA的中点，所以，且，所以
又因为平面平面PBC且交于BP，所以平面PBC，
又因为平面PBC，所以，平面ABCD，
所以平面平面
则以B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，
以过点B且垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，
设平面CDP的一个法向量为，
则，即
令，得，，则，
易知平面BCP的一个法向量为，
则，
所以平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为 

21.【答案】解：相关系数

所以有的把握认为变量x与y具有线性相关关系.

，
，所以y关于x的回归直线方程为

由可知，，

所以10000名考生的物理成绩，

所以，

所以物理成绩不低于分的人数，

所以

22.【答案】解：函数的定义域为，，

①当时，，所以在上单调递增;

②当时，令，解得，

当时，，所以，所以在上单调递减，

当时，，所以，所以在上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递增;

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

解：当时，，要证明，即证，即，

设，则，令得，可得，

当时，，当时，

所以，即，故

解：由可得，当且仅当时等号成立，

令，，2，3，，则，

故
 

即，
故，得证.