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    江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期4月学业水平质量调研数学试卷
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    江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期4月学业水平质量调研数学试卷

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    这是一份江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期4月学业水平质量调研数学试卷,共13页。试卷主要包含了04,0分等内容,欢迎下载使用。

    南通市通州区金沙中学         

         高二年级第二学期4月学业水平质量调研 

                           数学试卷                2023.04

        (时间:120分钟  分值:150分)

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1.  如图所示,空间四边形OABC中,,点MOA上,且MOA中点,NBC中点,则等于(     )

    A.  B.
    C.  D.

    2.  2名教师和5名学生中,选出3人参加我爱我的祖国主题活动。要求入选的3人中至少有一名教师,则不同的选取方案的种数是(     )

    A. 20 B. 55 C. 30 D. 25

    3.  x,向量,,则(     )

    A.  B.  C. 4 D. 3

    4.  一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球.若事件第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为,事件在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球的概率为,则事件第一次摸出红球的概率为(     )

    A.  B.  C.  D.

    5.  的展开式中含项的系数为4,则实数(     )

    A.  B.  C. 2 D. 4

    6.  若点AB分别是函数图象上的动点其中e是自然对数的底数,则AB的最小值为(     )

    A.  B.  C.  D. 17

     

    7.  是函数的极大值点,则a的取值范围是(     )

    A.  B.  C.  D.

    8.  中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设ab为整数,若abm除得的余数相同,则称ab对模m同余,记为,,则b的值可以是(     )

    A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

    9.  已知空间向量,则下列结论正确的是(     )

    A.  B.
    C.  D. 夹角的余弦值为

    10.  甲箱中有3个白球和3个黑球,乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件,则下列结论正确的是(     )

    A. 两两互斥                B.
    C. 事件B与事件相互独立         D.

    11.  我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(     )

    A. 与首末两端等距离的两个二项式系数相等猜想:
    B. 在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和猜想:
    C. n行所有数之和为猜想:
    D. 猜想

    12.  已知函数,函数的导数分别为,则(     )

    A. 的最大值为1 B.
    C.  D. 时,恒成立

     

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    13.  曲线在点处的切线方程为__________.

    14.  已知,若三向量共面,则实数等于__________.

    15.  2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的冰墩墩吉祥物和3个不同造型的雪容融吉祥物展示在柜台上,要求冰墩墩雪容融彼此间隔排列,则不同的排列方法种数为__________用数字作答

    16.  数学家波利亚说:为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来,即将一个量算两次从而建立相等关系这就是算两次原理,又称为富比尼原理.由等式利用算两次原理可得______.

    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    17.  本小题
    两个个条件:时取得极大值函数处的切线方程为.个条件中,请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整只要填写序号,并解答本题.
    题目:已知函数存在极值,并且__________.
    的解析式;
    时,求函数的最值.

     

     

    18.  本小题

    某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人,选取的3人中恰好有一个女生的概率是

    该小组中男女学生各多少人?

    个学生站成一列队,现要求女生保持相对顺序不变即女生前后顺序保持不变重新站队,问有多少种重新站队的方法?要求用数字作答

    名学生站成一列,要求男生必须两两站在一起,有多少种站队的方法?要求用数字作答

     

    19.  本小题

    如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,MAB的中点.

    求证:

    求点B到平面EAC的距离;

    已知点P在线段EC上,且直线AP与平面ABE所成的角为,求出的值.

     

    20.  本小题

    如图1,已知等边的边长为3,点MN分别是边ABAC上的点,且满足,如图2,将沿MN折起到的位置.

    求证:平面平面BCNM

    ,求平面和平面的夹角的正弦值.

     

    21.  本小题

    请先阅读:在等式的两边求导,得:,由求导法则,得,化简得等式:

    利用上述的想法,结合等式正整数

    的值.

    求证:

     

    22.  本小题

    已知函数的导函数为
    ,求实数a的取值范围;
    若函数,讨论的零点个数.
     

    答案和解析

    1.【答案】A 

    解:由题意得:

    2.【答案】D 

    解:根据题意,从2名教师和5名学生中,选出3人,有种选法,

    若入选的3人没有教师,即全部为学生的选法有种,则有种不同的选取方案,

    3.【答案】D 

    解:因为,则,解得,则

    因为,则,解得,即

    所以,,因此,

    4.【答案】D 

    解:设第一次摸出红球为事件A"第二次摸出黄球为事件B
    由题意得,故
    故事件第一次摸出红球的概率为 

    5.【答案】B 

    解:的展开式中产生含项有两种情况:
    情况一:;情况二:,所以含项的系数:
    ,解得:

    6.【答案】A 

    解:设点为曲线上的任一点,
    则曲线在点A处的切线斜率为,令,解得:
    此时点A坐标为,点A到直线的距离为
    AB的最小值为
      

    7.【答案】A 

    解:,则
    ,即时,则
    R上单调递增,没有极值点,不符合条件,舍去;
    ,即时,
    ,得;由,得
    上单调递增,上单调递减,上单调递增,
    显然取得极小值,不满足条件,舍去;
    ,即时,
    ,得;由,得
    上单调递增,上单调递减,上单调递增,
    显然取得极大值,满足条件;故a的取值范围是: 

    8.【答案】B 

    解:因为

    四个选项中,只有时,除以10余数是

    9.【答案】BC 

    解:因为,而,故A不正确;
    因为,所以,故B正确:
    因为,故C正确;
    ,则 ,故D不正确.  

    10.【答案】AD 

    解:因为每次取一球,不可能同时从甲箱中取出白球和黑球,
    所以是两两互斥的事件,故A项正确;因为
    所以,故B项错误;
    同理,
    所以,故D项正确;
    事件是否发生会影响事件B发生的概率,
    故事件B与事件不相互独立,故C项错误.

    11.【答案】ABC 

    解:由杨辉三角的性质和二项式系数之间的关系可知,故A正确;
    由杨辉三角的性质和二项式系数之间的关系可知,故B正确;
    由二项式定理可知,故C正确,
    因为,所以D错误.

    12.【答案】ACD 

    解:由
    所以当时,,当时,
    即函数上单调递增,在上单调递减,
    所以的最大值为,故A正确;
    由复合函数的求导法则可得
    所以,故B错误,C正确;

    时,,即有
    所以,即当时,单调递增,
    所以,故D正确.

    13.【答案】 

    解:由,则
    且当时,切线方程为

    14.【答案】4 

    解: 三向量共面,
    存在唯一一组实数pq,使得
     解得

    15.【答案】144 

    解:先排4冰墩墩,中间有3个空,再排雪容融,共有

    16.【答案】 

    解:因
    因此是展开式中项的系数,
    展开式中项的系数为
    所以

    17.【答案】解:若选条件
    ,即
    解得,符合条件,
    若选条件,则
    解得符合条件,
    可知,则
     时,解得 
    时,列表如下,

    x

    1

    2

    3

    0

    -

    0

    +

     

    单调递减

    单调递增

     

    18.【答案】解:设男生有x人,则

    ,解得故男生有6人,女生有3.

    按坐座位的方法,

    第一步:让6名男生先从9个位置中选6个位置坐,共有种方法;

    第二步:余下的座位让3个女生去坐,因为要保持相对顺序不变,所以只有1种选择方法,

    故一共有种重新站队方法.

    第一步:将6名男生分成3组,共有种方法;

    第二步:三名女生站好队,然后将3组男生插入其中,共有种方法;

    第三步:3组男生中每组男生站队方法共有种,

    故一共有种站队方法.

     19.【答案】解:MAB的中点,

    平面平面ABCD,平面平面平面ABE

    平面ABCD平面ABCD

    平面ABCD平面ABCD

    ,菱形ABCD中,,所以是正三角形,

     两两垂直.建立如图所示空间直角坐标系

    ,设是平面ACE的一个法向量,

    ,得,设点B到平面EAC的距离为d,则

    B到平面EAC的距离为

    因为y轴垂直平面ABE,所以设平面ABE的法向量为

    直线AP与平面ABE所成的角为

    ,由,解得

     

    20.【答案】解:中,由余弦定理得
    所以,即,所以
    又因为 平面平面
    所以平面,又因为平面BCNM,所以平面平面BCNM
    由条件: ,由  平面BCNM
     平面BCNM
    M为原点,MB所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,
    所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

     
    设平面的一个法向量为,则 ,即
    ,有
    设平面的一个法向量为,则由 ,可化简得 
    ,有
    设平面和平面夹角为,则,所以
    综上,平面和平面夹角的正弦值为 . 

    21.【答案】解:在等式正整数

    两边对x求导得:

    ,可得

    证明:式两边同时乘以x

    式两边对x求导得:

    ,得

    22.【答案】解:
    因为,所以
    ,则

    ,所以
    ,所以当时,函数单调递减,
    ,所以,即
    ,定义域为

    时,令,解得

    x

    1

    +

    0

    -

    递增

    极大值

    递减

    所以当时,取得最大值
    所以当时,有一个零点.
    时,令,解得

    x

    1

        

    +

    0

    -

    0

    -

    递增

    极大值

    递减

    极小值

    递增

    ,所以函数上有且仅有1个零点.
    ,且
    因为函数上单调递增且图象不间断,
    所以函数上有且仅有1个零点.
    所以当时,函数上有2个零点.
    时,令,所以上单调递增.
    ,又函数图象不间断,
    所以当时,函数上有且仅有1个零点.
    时,令,解得

    x

    1

    +

    0

    -

    0

    -

    递增

    极大值

    递减

    极小值

    递增


    所以函数上有且仅有1个零点.

    a

    2

    +

    0

    -

    递增

    极大值

    递减

    所以,所以,即

    因为函数上单调递增且图象不间断,
    所以函数上有且仅有1个零点.
    所以当时,函数上有2个零点.
    综上,当时,函数有且仅有1个零点;
    时,函数2个零点. 

     

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