2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第97中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第97中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．已知集合，且，则实数的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题根据集合的性质先将代入集合中，可得关于的等式，即求得．

【详解】因为，所以当时，成立，

所以，，

故选：A．

3．给出四个结论：

①是由4个元素组成的集合；

②集合表示仅由一个“1”组成的集合；

③与是两个不同的集合；

④集合大于3的无理数是一个有限集．

其中正确的是（    ）

A．①④ B．②④ C．②③ D．②

【答案】D

【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项.

【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误；

对于②，集合仅有1个元素，故②正确；

对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误；

对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误.

故选：D.

4．下面给出的几个关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系确定正确选项.

【详解】A选项，不是集合的元素，A错误.

B选项，不是集合的元素，所以不是的子集，B错误.

C选项，空集没有任何元素，C错误.

D选项，空集是任何集合的子集，D正确.

故选：D

5．已知集合，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题得, 再判断得解.

【详解】由题得, 所以，，，不是的子集，

故选：B

6．命题 ；命题 ，则是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先判断两个集合的关系，即可判断选项.

【详解】设，，

因为，所以是的必要不充分条件.

故选：B

7．若幂函数的图象经过点，则的图象是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可得出选项.

【详解】设，函数图像经过，

可得，解得，

所以.

故选：D.

8．设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ）

A．－4或－2 B．－4或2

C．－2或4 D．－2或2

【答案】B

【分析】讨论的范围，代入不同解析式，即可容易求得结果.

【详解】当时，，解得；

当时，，解得，

因为，所以，

综上，或，

故选：

【点睛】本题考查分段函数自变量的求解，属简单题.

9．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：

则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】将各数据代入选项，依次判断即可得到结论.

【详解】由题知：

当时，，而选项B，当时，，故排除B.

当时，，而选项A，当时，，故排除A，

选项C，当时，，故排除C，

选项D，当时，，时，，D正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查函数模型的选择，考查学生分析问题的能力，属于简单题.

10．如果，给出下列不等式，其中一定成立的是（    ）

①；②；③；④．

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

【答案】A

【分析】由不等式性质一一判定即可.

【详解】对于①，若，则不正确；

对于②，由，正确；

对于③，若，则不正确；

对于④，易知，正确.

故选：A

11．已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（    ）

①；②；③；④在上为减函数．

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】由函数的奇偶性的定义即可判定的关系，奇偶性与部分单调性的综合运用，可以推断整个函数的单调性，继而可以比较函数值的大小.

【详解】因为偶函数的定义域为，

所以，即，则①正确，②错误；

因为偶函数的定义域为，且在上为增函数，

所以在上为减函数，

继而，则③错误，④正确.

故选：B.

12．有下列四个命题，其中错误的是（    ）

①函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数；

②一元二次不等式的解集是或，则的值是0；

③不等式中等号成立的条件是；

④和表示同一函数．

A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②④

【答案】C

【分析】利用单调性的含义可知①的正误，利用解集可求可知②的正误，根据基本不等式等号成立的条件可得③的正误，根据同一函数的判定可知④的正误.

【详解】对于①，显然不对，比如，

在上单调递增，在上单调递增，

但是不能得出在上是增函数；

对于②，的解集是或，所以，

解得，所以，②不正确；

对于③，不等式中等号成立的条件是当且仅当，所以③正确；

对于④，，与对应关系不同，所以④不正确.

故选：C.

二、填空题

13．方程组的解构成的集合为        ．

【答案】

【分析】根据题意，求得方程组的解，结合集合的表示方法，即可求解.

【详解】由方程组程组，解得，

所以方程组的解构成的集合为.

故答案为：.

14．已知a、b大于0，，则的最大值是        ．

【答案】

【分析】利用基本不等式的变形可得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当时取到最大值，

故答案为：.

15．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为     ，

【答案】

【分析】原命题等价于命题“，”是真命题

【详解】由题意得若命题“”是假命题，

则命题“，”是真命题，

则需,故本题正确答案为．

【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．

16．已知幂函数为奇函数，则实数a的值为          .

【答案】1

【分析】由幂函数的定义解得a的值，再代入检验是否符合奇函数可得结果.

【详解】∵为幂函数，

∴，解得：或，

当时，，设则

∴在R上为偶函数，所以不符合题意；

当时，，设则

∴在R上为奇函数，所以符合题意.

综述：.

故答案为：1.

三、解答题

17．（1）已知，求证：.

（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？

【答案】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.

【分析】（1）通过作差法，进行证明；

（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.

【详解】（1）因为，

所以，

所以.

（2）当时，，

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当时，的值最小，最小值是.

【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.

18．设函数．

（1）用定义证明函数在区间上是单调减函数；

（2）求函数在区间得最大值和最小值．

【答案】（1）见解析； （2）最大值为3，最小值为.

【分析】（1）根据函数单调性的定义法即可证明，（2）根据（1）的结果即可得出最值.

【详解】（1）任取，因为

在上是单调减函数

（2）由（1）得函数在上是单调减函数，所以函数在上为单调减函数，所以

【点睛】本题主要考查了用定义域判断函数单调性的问题以及根据单调性求最值,属于基础题.