2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高一上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法求解函数解析式.

【详解】令，则，；

所以.

故选：D.

2．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.

【详解】令，则,且，

既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；

令，则,且，

是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；

故选：C

3．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

4．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求得解.

【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.

故选：B

5．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据一元二次不等式求解可得，再利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】

对于A：且，即是的不充分条件，

且，即是的不必要条件，A错误；

对于B：且，即是的不充分条件，

且，即是的不必要条件，B错误；

对于C：，即是的一个充分不必要条件，C正确；

对于D：，即是的必要不充分条件，D错误.

故选：C.

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；

通过作差法，，确定符号，排除C选项；

通过作差法，，确定符号，排除A选项；

【详解】由，且，故；

由且，故；

且，故.

所以，

故选：B.

7．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.

【详解】由得 ，

若，则不等式无解．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

综上，满足条件的的取值范围是

故选：C．

8．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

9．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．

【详解】解：

解得：.

故选：C.

10．已知集合中所含元素的个数为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以中含6个元素．

故选：C.

二、填空题

11．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是   .

【答案】a

【分析】根据命题p为假命题，则它的否定￢p是真命题，利用判别式≥0求出实数a的取值范围.

【详解】解：因为命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，

所以它的否定￢p：∃x∈R，x2+x﹣a≤0为真命题，

所以＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a.

故答案为：a

12．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则      ．

【答案】/

【分析】根据函数的周期性，结合已知函数解析式，代值计算即可.

【详解】因为，则，故可得，

故的一个周期为，则，

对，令，故可得.

即.

故答案为：.

13．已知幂函数的图象过点，则      ．

【答案】1

【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.

【详解】依题意，设，为常数，则，解得，即，

所以.

故答案为：1

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为         .

【答案】

【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.

【详解】函数的定义域为，即，所以，

所以，即，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

15．若函数是奇函数，则实数a的值为           .

【答案】1

【分析】利用奇函数的性质进行求解.

【详解】若是奇函数，则有.

当时，，则，

又当时，，所以，

由，得，解得a=1.

故答案为：1.

三、解答题

16．已知函数．

（1）求它的定义域和值域；

（2）求它的单调区间；

（3）判断它的奇偶性；

（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

【答案】（1）定义域为，值域为；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）非奇非偶函数； （4）.

【分析】（1）利用两角和差的三角函数，结合对数的运算化简可得，

由真数大于零，即，利用三角函数的图象和性质求解，即得函数的定义域；根据三角函数的值域和对数函数的图象与性质，可求得函数的值域；

（2）利用对数函数的单调性，三角函数的单调性，结合复合函数的单调性可求得函数的单调增减区间；

（3）利用奇偶函数的定义域的对称性，结合（1）中所的定义域，即可得到函数为非奇非偶函数；

（4）根据三角函数的周期性，即可得到函数的周期.

【详解】（1），

由,解得

∴函数的定义域为；

由,∴，∴函数的值域为；

（2）在定义域内，当,即时，是单调递增的，故函数时单调递减的；

当,即时，是单调递减的，故函数时单调递增的；

∴单调增区间为，单调减区间为；

（3）由（1）得函数的定义域为，

定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；

（4）∵的最小正周期为,∴函数的最小正周期为.

【点睛】本题考查对数函数与三角函数的复合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性问题，关键是掌握复合函数的单调性求解方法,熟练掌握三角函数的单调性，简单三角不等式的求解方法，并注意单调性求解和奇偶性判定时一定要考察清楚函数的定义域.

17．函数是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求函数在的解析式；

（2）当时，若，求实数m的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；

（2），有，解方程即可得解.

【详解】（1）令，则，

由，此时；

（2）由，，

所以，

解得或或（舍）.

18．解关于的不等式．

【答案】答案见解析

【分析】解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解.

【详解】因为，即，

当时，则，即；

当时，则；

当时，①当时，则或；

②当时，则，即；

③当时，则或；

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

19．已知全集U为全体实数，集合，

(1)在①，②，③这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)选条件③，或，

(2)

【分析】（1）求出集合，再得出三个条件下集合，由，确定选条件③，然后由集合的运算法则计算；

（2）根据必要不充分条件的定义求解．

【详解】（1）由题知：集合，，

时，，时，，时，，

，需选条件③，

此时，或，

，

（2）∵ “”是“”的必要不充分条件是B的真子集，

∴且等号不同时取得，解得．

20．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．

（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？

【答案】（1），，，，

（2），（3）天.

【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；

（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；

（3）由解得：，减去即得答案.

【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，

则，

由解得：，

所以，，

所以段的函数表达式为，

（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：

，

（3）由解得：，

所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.