2022-2023学年浙江省嘉兴市嘉兴市第五高级中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年浙江省嘉兴市嘉兴市第五高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

2．命题“，”的否定形式是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为全称量词命题，

其否定为：，；

故选：B

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求解，根据充分、必要性的定义判断条件间的关系.

【详解】由，可得或，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即函数的定义域.

【详解】由题，，解得.

故选：    D.

5．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；

对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；

对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；

对于D，为奇函数，所以D不符合题意．

故选：C．

6．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性比较大小．

【详解】∵是减函数，，所以，

又，

∴．

故选：C．

7．在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判断一次函数的单调性，再对指数函数的底数分类讨论，即可得到函数图象特征，从而选出正确结果.

【详解】函数在定义域上单调递增，故排除A；

直线过点，函数过点，

当时，指数函数在定义域上单调递增，

当时，指数函数在定义域上单调递减，

对于B，在的上方，，应该单调递增，矛盾，排除B；

对于C，在的下方，且指数函数在定义域上单调递减，C正确；

对于D，位于的下方，而指数函数在定义域上单调递增，故D不正确；

故选：C.

8．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.

【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，

则对任意的，不等式恒成立，

则不等式，恒成立，

则，恒成立，

得，得，恒成立，

则且，或且，恒成立，

即当时，且，或且，

又当，有，，

得.

故选：C.

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.

二、多选题

9．下列化简结果中正确的有（字母均为正数）（     ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用指数的运算性质可判断ABC选项的正误，利用特殊值法可判断D选项的正误.

【详解】由指数幂的运算性质可得，，，AB选项正确，C选项错误，

取，，则，D选项错误.

故选：AB.

10．下列命题中不正确的是（    ）

A．， B．

C．， D．

【答案】ABC

【分析】举反例判断出选项中的命题不正确，或使用不等式的性质证明选项中的命题正确即可.

【详解】对于A，若，，，则，不能推出，故A不正确；

对于B，若，，，则不能推出，故B不正确；

对于C，若，，，，则，不能推出，故C不正确；

对于D，若，则且，所以，即，故D正确.

故选：ABC.

11．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

【答案】AD

【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.

【详解】不等式的解集为

根据一元二次不等式解法可知，且，

故由上可知A正确，B错误；

由，可知：将，代入

由可得：，解得：或

故的解集为或，C错误，D正确；

故选：AD

12．对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（    ）

A．，

B．，的奇函数

C．函数的值域为

D．恒成立

【答案】ACD

【分析】由取整函数的定义得到，然后逐项判断.

【详解】设是x的小数部分，则由取整函数的定义知：，当x为整数时，，则，当x不为整数时，，则，且成立，即，

A，由取整函数的定义知： ，所以，成立，故选A正确；

B，当时，，当时，，故，不是奇函数，故B错误；

C，由取整函数的定义知： ，所以，，函数的值域为，故C正确；

D，由取整函数的定义知： ，，所以，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知函数，则          

【答案】1

【分析】依据分段函数求函数值的方法去求的值.

【详解】

故答案为：1

14．           ．

【答案】2

【分析】根据指数及对数运算律计算即可得出结果.

【详解】

故答案为:2.

15．函数的图象恒过定点             .

【答案】（1,3）

【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.

【详解】令，可得，

所以，即图象恒过定点（1,3）.

故答案为：（1,3）

16．函数，则函数有最大值为        ．

【答案】4

【分析】在同一直角坐标系中绘制出函数的图象，根据函数的定义，利用图象即可求函数的最大值.

【详解】解：在同一直角坐标系中绘制出函数的图象，如下图所示，

因为函数，

所以函数的图象为图中的实线部分所示，

因为三个函数图象都交于同一点，

所以由图可知函数有最大值为4.

故答案为：4.

四、解答题

17．已知，，

(1)当a＝1时，求和；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，或

(2)或

【分析】（1）先化简集合，再根据并集和补集的概念直接求解即可；

（2）由，可得，利用集合的包含关系列不等式组求解即可.

【详解】（1）由解得：，故，

当时，，

所以，或.

（2）因为，所以，

当时，，解得，满足；

当时，，解得，

所以实数的取值范围为或.

18．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围

（2）已知正实数，满足：，求的最小值

【答案】（1），；（2）9

【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可;

（2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值.

【详解】（1）因为，所以，

所以  

所以的取值范围是．

因为，所以，

因为，所以，

所以的取值范围是．

（2）因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为9.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求出当时，的解析式；

(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间；

(3)结合函数图象，求当时，函数的值域．

【答案】(1)；

(2)图象见解析，单调增区间为；

(3).

【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答.

（2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答.

（3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答.

【详解】（1）依题意，设，有，则，

因为为上的奇函数，因此，

所以当时，的解析式．

（2）由已知及（1）得函数的图象如下：

观察图象，得函数的单调增区间为：.

（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，有最小值，，

当时，有最大值，

所以当时，函数的值域为.

20．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左､右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为.

(1)用a､b表示S；

(2)a､b各为多少时，蔬菜的种植面积S最大？最大种植面积是多少？

【答案】(1)

(2)当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为

【分析】（1）通过读图，直接由矩形的面积公式列出用、表示的；

（2）由和的关系，把用含有的代数式表示，代入（1）中的关系式后利用基本不等式求最值．

【详解】（1）由题意可知，，

；

（2）由，得，

代入，得

．

当且仅当，即时取得最大值，

此时．

所以当、时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是．

答：当、时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是．

21．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求a，b的值；

(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；

(3)求使成立的实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)在，上是增函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.

（2）根据定义法证明函数的单调性即可.

（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；

又，即，解得；

经检验，时，是定义在上的奇函数．

（2）设，，且，

则；

因为，所以，

所以，所以，所以在上是增函数；

（3）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

所以，即，解得．

所以实数的取值范围是.

22．已知函数，，

(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；

(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；

(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；

(2)

(3)

【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；

（2）解不等式，即可得到结果；

（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．

【详解】（1）解：当时，，

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；

（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，

又因为在，上的最大值为，所以，

即，整理可得，

所以，所以，即；

（3）解：由不等式对任意，，恒成立，

即，

可令，等价为在，上单调递增，

而，

分以下三种情况讨论：

①当即时，可得，解得，矛盾，无解；

②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，

但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；

③即时，此时在，上单调递增，

要想在，递增，只能，即，所以．

综上可得满足条件的的取值范围是．