浙江省嘉兴市第五高级中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

嘉兴市第五高级中学2022学年第二学期期中测试

高二数学试卷

考生须知：

1.本试卷为试题卷，满分150分，考试时间120分钟.

2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.

3.考试结束，上交答题卷.

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求集合的补集，再根据并集运算求出结果.

【详解】因为，，所以；

因为，所以.

故选：B.

2. 已知，则“”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分条件必要条件的定义判断.

【详解】由不等式的性质，当时，一定有；

当时，有或，不能得到.

则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3. 已知命题，，则是（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由全称命题的否定可得出结论.

【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，，

故选：D.

4. 某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用n次独立重复试验，恰有k次发生的概率公式计算作答.

【详解】依题意，连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为.

故选：B

5. 某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165cm的同学数目约为（    ）

A. 80 B. 160 C. 240 D. 320

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据正态分布曲线得到，再求样本中不高于165cm的同学的人数即可.

【详解】，

则样本中不高于165cm的同学数目约为人.

故选：B

6. 若正数满足，则最小值为（    ）

A. 6 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值

【详解】因为正数满足，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

故选：C

7. 是f（x）的导函数，的图象如下图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由图可以看出函数y=f′（x）的图象是一个二次函数的图象，

在a与b之间，导函数的值是先增大后减小

故在a与b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小

因此故排除答案A，B，C．

故答案为D．

考点：函数的单调性与导数的关系.

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造，，求导得到其单调性，结合，得到；构造，，求导得到其单调性，结合得到，即，从而得到答案.

【详解】构造，，则在上恒成立，

故在上单调递减，又，

故，故，

构造，，

则在上恒成立，故在单调递减，

又，，故，即，

故，

综上：

故选： D

【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，，，，，等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式.

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知实数x，y满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式的性质求解.

【详解】实数x，y满足，，

由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC选项正确；

由，得，B选项错误；

由，得，D选项正确.

故选：ACD

10. 下列求导运算错误的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，利用基本初等函数求导公式直接求解；B选项，利用复合函数求导法则计算；C选项，利用求导除法法则计算；D选项，利用求导乘法法则计算.

【详解】A选项，，A正确；

B选项，，B错误；

C选项，，C正确；

D选项，，D错误.

故选：BD

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是

B. 从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为

C. 若随机变量，则

D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：根据代换的过程，直接求解；对于B：直接求出其中至少有一名女生的概率，即可判断；对于C：利用二项分布求出方差，再求；对于D：按照残差的意义直接判断.

【详解】对于A：因为，所以.

又，，

所以，所以.

故A正确.

对于B：从10名男生，5名女生中随机选取4人，有种，至少有一名女生的选法，有，所以其中至少有一名女生的概率为.故B错误.

对于C：

随机变量，所以，所以.故C正确；

对于D：按照残差的意义，在回归分析中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好.故D错误.

故选：AC

12. 已知，若，则有（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项．

【详解】令，则，已知式变为，

解得，

，，

，

，

令，则有，

两边对求导得，

再令得，

所以，

故选：BCD．

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解.

【详解】由题意可得，X服从两点分布，
，

故.

故答案为：.

14. 已知集合，，则________.

【答案】

【解析】

【分析】利用不等式求得集合元素，根据集合的交集，可得答案.

【详解】由，，解得，则；

由，解得或，则或

所以.

故答案为：.

15. 第13届冬残奥会于2022年3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有________种.

【答案】180

【解析】

【分析】由排列、组合及分步计数原理求解即可.

【详解】从3名女生中选1人，5名男生选2人，再把3 人分配给3 个项目，

所以不同的安排方案有种.

故答案为：180.

16. 函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______

【答案】

【解析】

【分析】利用导数可证明函数在上递增，不妨设，则不等式恒成立，即不等式恒成立，令，，则可得函数在上递增，故在恒成立，从而可得出答案.

【详解】解：，

因为，

所以，

所以函数在上递增，

又因函数在上递增，

不妨设，

当时，，符合题意，

当时，不等式恒成立，

即不等式恒成立，

即不等式恒成立，

令，，

则时，，

所以函数在上递增，

，

则在恒成立，

即在恒成立，

令，，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6个小题，共70分.

17. 甲箱中有3件正品，2件次品，乙箱中有1件正品，3件次品，先从甲箱中任取一件放入乙箱中，再从乙箱中任取一件.

（1）已知从甲箱中取出的是正品的条件下，求从乙箱中也取出的是正品的概率；

（2）求从乙箱中取出正品的概率，

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据古典概型的概率公式以及条件概率公式，可得答案；

（2）利用全概率公式，可得答案.

【小问1详解】

设“从甲箱中取出正品”，“从乙箱中取出正品”，

先从甲箱中取出一件正品放入乙箱，此时乙箱中由2件正品，3件次品，

所求概率为.

【小问2详解】

设“从甲箱中取出正品”，“从乙箱中取出正品”，

易知，，，，故由全概率公式，

得.

18. 已知.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）   

（2）极大值为，极小值为

【解析】

【分析】（1）根据曲线在某点处的切线方程的求解步骤，结合求导运算以及点斜式方程，可得答案；

（2）由函数解析式，求导，令导数等于零，结合二次函数性质，结合极值的定义，可得答案.

【小问1详解】

，所以切线斜率，

于是切线方程为：，即；

【小问2详解】

令，解得，，

则x，，变化情况如下表：

所以，的极大值为，极小值为

19. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．

（1）求的值；

（2）若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.

（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．

【小问1详解】

由题设，，整理得，解得（舍）或；

【小问2详解】

由（1）知：二项式展开式通项为，

当时为含的项，故，解得.

20. 某汽车总公司计划在市的区开设某种品牌的汽车专卖分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.

（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；

（2）如果总公司最终决定在A区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买这种汽车.依据小概率值的独立性检验，试问两个店的顾客下单率有无差异？

参考公式：，.

【答案】（1）   

（2）两个分店下单率没有差异

【解析】

分析】（1）根据表中数据计算平均数和回归系数即可写出线性回归方程；

（2）根据已知条件得出的列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.

【小问1详解】

由上表数据可知，，

，

，

，

设关于的线性回归方程为，

则，

，

关于的线性回归方程为；

【小问2详解】

设零假设为：两个分店顾客下单率无差异，则

由题意可知列联表如图所示：

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以两个分店下单率没有差异.

21. 一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.

（1）若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；

（2）从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.

【答案】（1）分布列见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题设确定随机有放回的抽取2个小球的所有可能事件，进而确定X可能值，进而求各对应值的概率.

（2）根据期望公式、方差与期望的关系，结合已知列关于x、y、z的方程，即可求比例.

【小问1详解】

由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，

又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，

∴，，，，，

∴X的分布列如下：

【小问2详解】由题设，当时，，

当时，，

当时，，

∴，

，

，

∴，则，，，

∴.

22 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图象与的图象交于，两点，证明：.

【答案】（1）增区间为，减区间为   

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）求导，分别解不等式，可得；

（2）由，，两式相减得：，然后将原不等式的证明问题转化为，再通过换元将二元问题化为一元问题，构造函数，利用导数讨论其单调性，由单调性可证.

【小问1详解】

的定义域为

令，解得

令，解得

所以的单调增区间为，减区间为

【小问2详解】

由（1）得

由题知，

两式相减整理可得：

所以要证明成立，只需证明

因为，所以只需证明

令，则只需证明，

即证

令

记

则

易知，当时，，当时，

所以当时，

所以当时，，函数单调递增

故，即

所以，原不等式成立.