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    (艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点44 抛物线 (含解析)

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    这是一份(艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点44 抛物线 (含解析),共7页。试卷主要包含了抛物线的概念,抛物线的标准方程与几何性质,抛物线的焦点弦有关的常用结论,已知A,抛物线C等内容,欢迎下载使用。

    考点四十四  抛物线

    知识梳理

    1抛物线的概念

    把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.

    用集合语言描述P{M|},即P{M||MF|d}

    注意抛物线的定义中不可忽视定点不在定直线上这一条件当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.

    2抛物线的标准方程与几何性质

    标准

    方程

    y22px

    (p>0)

    y2=-2px

    (p>0)

    x22py

    (p>0)

    x2=-2py

    (p>0)

    p的几何意义:焦点F到准线l的距离

    图形

    顶点

    O(0,0)

    对称轴

    y0

    x0

    焦点

    F

    F

    F

    F

    离心率

    e1

    准线方程

    x=-

    x

    y=-

    y

    焦半径

    |PF|x0

    |PF|x0

    |PF|y0

    |PF|y0

    开口方向

    向右

    向左

    向上

    向下

    3抛物线的焦点弦有关的常用结论

    (1)y1y2=-p2x1x2.

    (2)|AB|x1x2p(θAB的倾斜角)

    (3) SAOB

    (4)为定值.

    (5)AB为直径的圆与准线相切AFBF为直径的圆与y轴相切.

    (6)AB抛物线的对称轴垂直时称线段AB为抛物线的通径它是焦点弦中最短者长度等于2p.

    典例剖析

    题型 抛物线的定义及其应用

    1 若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是__________

    答案 

    解析 M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=-

    M(xy),则y1y.

    变式训练  已知抛物线Cy28x的焦点为F准线为lPl上一点Q是直线PFC的一个交点4|QF|__________

    答案 3

    解析 4||4||.如图QQQl垂足为Qlx轴的交点为A|AF|4

    |QQ|3根据抛物线定义可|QF||QQ′|3

    解题要点  利用抛物线的定义解决此类问题应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.看到准线想到焦点看到焦点想到准线这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.

    题型二  抛物线的标准方程求解

    2 已知抛物线Cy22px(p>0)过点A(12).求抛物线C的方程并求其准线方程;

      (12)代入y22px(2)22p×1所以p2.

    故所求的抛物线C的方程为y24x其准线方程为x=-1.

    变式训练  已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点且顶点在原点则抛物线C的方程是__________

    答案  y2±4x

    解析  因为双曲线的焦点为(0)(0)

    设抛物线方程为y2±2px(p>0)所以p2所以抛物线方程为y2±4x.

    解题要点  求抛物线的标准方程的方法:

    求抛物线的标准方程常用待定系数法因为未知数只有p所以只需一个条件确定p值即可.

    因为抛物线方程有四种标准形式因此求抛物线方程时需先定位再定量.

    题型  抛物线的几何性质

    3 如图过抛物线y22px(p0)的焦F的直线l依次交抛物线及其准线于点ABC|BC|2|BF||AF|3则抛物线的方程是________

    答案  y23x

    解析  分别过点AB作准线的垂线AEBD分别交准线于点ED

    |BF||BD||BC|2|BF||BC|2|BD|∴∠BCD30°|AE||AF|3

    |AC|6即点FAC的中点根据题意得p抛物线的方程是y23x.

    变式训练  已知抛物线Cy28x的焦点为F,准线为lPl上一点,Q是直线PFC的一个交点,若4,则|QF|等于__________

    答案 3

    解析 4||4||.

    如图,过QQQl,垂足为Q

     

    lx轴的交点为A,则|AF|4

    |QQ|3,根据抛物线定义可知|QQ||QF|3.

    解题要点  应用抛物线性质的技巧:

    1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程.

    2.要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.

    3.借助抛物线的定义在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化

    当堂练习

    1(2015陕西文)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1),则该抛物线焦点坐标为__________

    答案 (1,0)

    解析 由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x=-,由题意得-=-1p2,焦点坐标为.

    2O为坐标原点,F为抛物线Cy24x的焦点,PC上一点,若|PF|4,则POF的面积为__________

    答案  2

    解析  利用|PF|xP4,可得xP3

    yP±2.SPOF|OF|·|yP|2.

    3. (2014年辽宁卷)已知点A(2,3)在抛物线Cy22px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为__________

    答案 

    解析  A(2,3)y22px的准线上,=-2p4y22px的焦点为F(2,0)kAF=-.

    4(2014·安徽)抛物线yx2的准线方程是__________

    答案 y=-1

    解析 yx2x24y.

    准线方程为y=-1.

    5.已知A(2,0),抛物线Cx24y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM||MN|________.

    答案  1

    解析  MF的方程为y1x2y20MF的倾斜角为α,则tanα=-,由抛物线的定义可知|MF||MQ|

    sinα .

    课后作业

    一、    填空

    1.过点P(2,3)的抛物线的标准方程是__________

    答案 y2=-xx2y

    解析 设抛物线的标准方程为y2kxx2my,代入点P(2,3),解得k=-m

    y2=-xx2y.

    2抛物线y4x2的焦点到准线的距离是__________

    答案 

    解析 由x2y,知p,所以焦点到准线的距离为p.

    3设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是__________

    答案  y28x

    解析  由抛物线的准线方程为x=-2,得焦点F(2,0)2

    p4,故抛物线的标准方程为y28x.

    4y2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是__________

    答案  (1,2)

    解析  如图所示,直线l为抛物线y2x2的准线,F为其焦点,PNlAN1l,由抛物线的定义知,|PF||PN|

    |AP||PF||AP||PN||AN1|,当且仅当APN三点共线时取等号.

    P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1.

    5若抛物线y22px上一点P(2y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为__________

    答案  y28x

    解析  由题意,得24p4,所以抛物线的方程为y28x.

    6.点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是__________

    答案  yx2y=-x2

    解析  yax2化为x2y,当a>0时,准线y=-,由已知得3612a.a<0时,准线y=-,由已知得|3|6

    a=-a()抛物线方程为yy=-x2.

    7.抛物线y=-2x2的焦点坐标为__________

    答案  (0,- )

    解析  y=-2x2化为标准方程为x2=-y,其焦点坐标是(0,-).

    8抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是__________

    答案 

    解析  抛物线y24x的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为±xy0,则所求距离为d.

    9.过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A,抛物线上有一点B满足 (O为坐标原点),则BOF的面积是__________

    答案  1

    解析  由题可知F(1,0),可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知k存在),则A(0,-k)

    B(1,-k),由点B在抛物线上,得k24k±2,即B(1±2)

    SBOF·|OF|·|yB|×1×21.

    10.若抛物线y22x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为________

    答案 

    解析  M(xy),则由x22x30.

    解得x1x=-3()

    所以点M到抛物线焦点的距离d1--.

    11.已知抛物线y22px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于AB两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________

    答案  x=-1

    解析  直线方程为yx,由y22pyp20.AB的纵坐标分别为y1y2,由韦达定理知y1y22p,又线段AB的中点的纵坐标为2,所以p2.于是抛物线的准线方程为x=-1

    二、解答题

    12.已知抛物线Cy22px(p>0)的焦点为F,直线y4y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF||PQ|.C的方程;

    解析  Q(x0,4),代入y22pxx0.所以|PQ||QF|x0.

    由题设得×,解得p=-2(舍去)p2.所以C的方程为y24x.

    13.若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为3,延长PF交抛物线于Q,若O为坐标原点,OPQ面积SOPQ

    解析  如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|PF|3,由抛物线定义知:点P到准线x=-1的距离为3P的横坐标为2.

    x2代入y24xy28,由图知点P的纵坐标y2

    P(2,2)直线PF的方程为y2(x1)

    联立直线与抛物线的方程

    解之得

    由图知QSOPQ|OF|·|yPyQ|×1×|2|.

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