(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第7章 第3讲　等比数列及其前n项和 (2份打包，原卷版+教师版)

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第3讲　等比数列及其前n项和


一、知识梳理
1.等比数列的有关概念
(1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零).
②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G2＝ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn﹣1.
(2)前n项和公式：Sn＝
3.等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠﹣1).
常用结论
1.等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列.
2.等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上.
3.等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)
二、教材衍化
1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列
解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即a＝a3·a9.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则q＝________.
答案：2
3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.
解析：设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.
答案：27，81

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列.(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n﹣1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(5)等比数列中不存在数值为0的项.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)运用等比数列的前n项和公式时，忽略q＝1的情况；
(2)忽视等比数列的项不为0；
(3)对等比数列项的符号不能作出正确判断.
1.已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A.1 B.﹣ C.1或﹣ D.﹣1或
解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，得q＝﹣.综上，q的值是1或﹣，故选C.
2.已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________.
解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣4.当x＝﹣1时，数列的前三项为﹣1，0，0，不是等比数列，舍去.
答案：﹣4

3.在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为________.
解析：设a2与a10的等比中项为G，
因为a2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.
答案：±8

考点一　等比数列的基本运算(基础型)
探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式.
核心素养：数学运算
(1)(一题多解)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.则an＝________.
【解析】(1)通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.
把a1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得q＝﹣，所以S4＝＝.
优解一：设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝﹣，所以a4＝a1·q3＝(﹣)3＝﹣，所以S4＝S3＋a4＝＋(﹣)＝.
优解二：设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1﹣qn)(其中A为常数)，则a1＝S1＝A(1﹣q)＝1　①，S3＝A(1﹣q3)＝　②，由①②可得A＝，q＝﹣.所以S4＝.
(2)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2﹣2q﹣8＝0.
解得q＝﹣2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n﹣1＝22n﹣1.
【答案】　(1)　(2)22n﹣1

解决等比数列有关问题的2种常用思想
方程
的思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解
分类讨论
的思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝


1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4﹣3q2﹣4＝0，令q2＝t，则t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或t＝﹣1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝﹣2(舍去).又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故选C.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝﹣1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝﹣1＋(n﹣1)d，bn＝qn﹣1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n﹣1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q﹣20＝0，解得q＝﹣5或q＝4.
当q＝﹣5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝﹣1，则S3＝﹣6.
考点二　等比数列的判定与证明(基础型)
理解等比数列的概念，发现数列的等比关系，体会等比数列与函数的关系.
核心素养：逻辑推理
(1)已知数列{an}是等比数列，则下列命题不正确的是(　　)
A.数列{|an|}是等比数列 B.数列{anan＋1}是等比数列
C.数列{}是等比数列 D.数列{lg a}是等比数列
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1﹣2an，求证：{bn}是等比数列.
【解】　(1)选D.因为数列{an}是等比数列，所以＝q.对于A，＝||＝|q|，所以数列{|an|}是等比数列，A正确；对于B，＝q2，所以数列{anan＋1}是等比数列，B正确；对于C，＝＝，所以数列{}是等比数列，C正确；
对于D，＝＝，不一定是常数，所以D错误.
(2)证明：因为an＋2＝Sn＋2﹣Sn＋1＝4an＋1＋2﹣4an﹣2＝4an＋1﹣4an，
所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2﹣2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
【迁移探究1】　
(变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{an}的通项公式.
解：由(2)知bn＝an＋1﹣2an＝3·2n﹣1，
所以﹣＝，
故{}是首项为，公差为的等差数列.
所以＝＋(n﹣1)·＝，
所以an＝(3n﹣1)·2n﹣2.
【迁移探究2】　
(变条件)在本例(2)中，若cn＝，证明：数列{cn}为等比数列.
证明：由[迁移探究1]知，an＝(3n﹣1)·2n﹣2，所以cn＝2n﹣2.
所以＝＝2，又c1＝＝，
所以数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列.









等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列.
(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn﹣1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn﹣k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.
[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.　

1.(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n﹣1＋，则a的值为(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
解析：选A.法一：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝a·2n﹣1﹣a·2n﹣2＝a·2n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝﹣.
法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn﹣k，则a＝﹣，a＝﹣.
2.已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an﹣bn＋4，4bn＋1＝3bn﹣an﹣4.
证明：{an＋bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列.
证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列.
由题设得4(an＋1﹣bn＋1)＝4(an﹣bn)＋8，即an＋1﹣bn＋1＝an﹣bn＋2.
又因为a1﹣b1＝1，所以{an﹣bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
考点三　等比数列的性质及应用(综合型)
能用等比数列的有关知识解决相应的问题.
核心素养：数学运算




角度一　等比数列项的性质的应用
(1)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.﹣或
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝﹣6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝﹣，所以＝＝a9＝﹣.
(2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
【答案】　(1)B　(2)5
角度二　等比数列前n项和的性质的应用
(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为﹣240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.
【解析】　(1)由题意，得解得所以q＝＝＝2.
(2)设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝﹣，所以＝＝.
【答案】　(1)2　(2)


等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
[提醒]　在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用.　



1.已知等比数列{an}中，a4＋a8＝﹣2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.﹣9
解析：选A.a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝﹣2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
2.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an﹣1anan＋1＝324，则n等于(　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
解析：选C.因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列.
不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m﹣1.
令bm＝324，即4×3m﹣1＝324，解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
3.在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝﹣，则＋＋＋＝________.
解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝＝÷(﹣)＝﹣.
答案：﹣

[基础题组练]
1.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1＝1，则S4＝(　　)
A.16　　 B.15 C.8 D.7
解析：选B.设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，
又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B.
2.各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选C.由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，所以log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.
3.(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C.数列{an﹣an＋1}是公比为q的等比数列
D.数列{}是公比为的等比数列
解析：选AD.对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝﹣1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数列{an﹣an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列{}是公比为的等比数列，故选AD.
4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q＝2，则＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A.法一：由题意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而S6＝＝63a1，
所以＝＝，故选A.
法二：由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a3＋a5＋(a2＋a4＋a6)＝a1＋a3＋a5＋2(a1＋a3＋a5)＝3(a1＋a3＋a5)，故＝，故选A.
5.(应用型)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(　　)
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
解析：选C.记该人每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝的等比数列，
由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×＝6，故选C.
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，
又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，
又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
答案：
7.公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15＝________.
解析：等比数列{an}的各项都是正数，且公比为，a2a12＝16，
所以a1qa1q11＝16，即aq12＝16，
所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，则log2a15＝log226＝6.
答案：6
8.已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.
解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×()n-1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8，公比为的等比数列的前n项和.故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×()n-1＝＝×[1-()n].
答案：an＝4×()n-1　×[1-()n].
9.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn﹣1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝﹣2或q＝2.
故an＝(﹣2)n﹣1或an＝2n﹣1.
(2)若an＝(﹣2)n﹣1，则Sn＝.
由Sm＝63得(﹣2)m＝﹣188，此方程没有正整数解.
若an＝2n﹣1，则Sn＝2n﹣1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.



10.已知数列{an}是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值.
解：(1)由a2＝2，S3＝7得解得或(舍去)
所以an＝4·＝.
(2)由(1)可知，Sn＝＝＝8＜8.
因为an＞0，所以Sn单调递增.
又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7，8).
又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.
[综合题组练]
1.(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7·a8＞1，＜0.则下列结论正确的是(　　)
A.0＜q＜1 B.a7·a9＞1 C.Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7
解析：选AD.因为a1＞1，a7·a8＞1，＜0，所以a7＞1，a8＜1，所以0＜q＜1，故A正确；a7a9＝a＜1，故B错误；因为a1＞1，0＜q＜1，所以数列为递减数列，所以Sn无最大值，故C错误；又a7＞1，a8＜1，所以T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确.故选AD.
2.已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1﹣an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为(　　)
A.×(310﹣1) B.×(910﹣1) C.×(279﹣1) D.×(2710﹣1)
解析：选D.因为an＋1﹣an＝＝3，
所以{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3，
所以an＝1＋3(n﹣1)＝3n﹣2，bn＝1×3n﹣1＝3n﹣1，
所以ban＝33n﹣3＝27n﹣1，所以{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，
所以{ban}的前10项和为＝×(2710﹣1)，故选D.

3.已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：因为＝an，令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，
所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，Sn＝＝2n＋1﹣2.
答案：2n＋1﹣2
4.(综合型)(2020·安徽合肥等六校联考)已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有A≤2Sn﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为______.
解析：因为等比数列{an}的首项为，公比为﹣，所以Sn＝＝1﹣(﹣)n.令t＝(﹣)n，则﹣≤t≤，Sn＝1﹣t，所以≤Sn≤，所以2Sn﹣的最小值为，最大值为.又因为A≤2Sn﹣≤B对任意n∈N*恒成立，所以B﹣A的最小值为﹣＝.
答案：
5.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n﹣1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3，
故存在常数λ＝，使得数列{Sn＋}是等比数列.
6.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝()n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n﹣1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
解：(1)因为an·an＋1＝()n，
所以an＋1·an＋2＝()n+1，所以＝，即an＋2＝an.
因为bn＝a2n＋a2n﹣1，
所以＝＝＝，
因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝.
所以{bn}是首项为，公比为的等比数列.
所以bn＝×()n-1＝.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n﹣1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋＝3﹣.