安徽省芜湖市第二中学2023-2024学年高二数学上学期开学评价试题（Word版附解析）

高二入学学情评价

数学

第Ⅰ部分（选择题，共36分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.

【详解】因为，所以，

所以，所以

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零）.

2. 命题“，使.”的否定形式是（    ）

A. “，使” B. “，使”

C. “，使” D. “，使”

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式．

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使．

故选：D．

3. 已知复数,则的共轭复数

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.

【详解】因为，

所以，

所以的共轭复数

故选A项.

【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.

4. 下列各组函数中表示同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.

【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项B：的定义域为，的定义域为，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项C：的定义域为，的定义域为，

两个函数定义域不同，不是同一个函数；

对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.

5. 已知函数，则的图象大致为（   ）.

A.    B.  

C.    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】根据特殊值的函数值符号排除A、C，利用函数的单调性判断B、D.

【详解】因为，所以A错误；

因为，所以C错误；

因为，所以D错误；

排除了ACD，而B选项中的图像又满足上述性质，故B正确.

故选：B

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函数诱导公式及二倍角公式进行化简计算.

【详解】

.

故选：A

【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.

7. 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示，根据折线图，下列结论正确的个数为 （　　）

①每年的营收额逐年增长;

②营收额增长最快的一年为2013-2014年;

③2010-2018年的营收额增长率约为40%;

④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额，变化比较平稳.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据折线图的数据得到结果.

详解】2011-2012年,营收额减少,故①错误;

由折线图可知营收额增长最快的一年为2013-2014年,故②正确;

,故③正确;

经过计算,得2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳,故④正确.

即②③④正确.

故选：C.

8. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（　　）

A. 1：3 B. 3：1 C. 2：3 D. 3：2

【答案】D

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比．

【详解】设圆柱的底面半径为，轴截面正方形边长，则，

可得圆柱的侧面积，

再设与圆柱表面积相等的球半径为，

则球的表面积，解得，

因此圆柱的体积为，球的体积为，

因此圆柱的体积与球的体积之比为．

故选D．

【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积和体积公式，以及球的表面积和体积公式的应用，其中解答中熟记公式，合理计算半径之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9. 已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】A、B、D选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.

【详解】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；

B．因为，取等号时，故正确；

C．因为，取等号时，故错误；

D．因为，所以，取等号时，故正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当时，，当且仅当时取等号.

10. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是（　　）

A. ++

B. （）·

C. （+）·=·+·

D. |+|=|+|

【答案】BC

【解析】

【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断．

【详解】对于A，，故A错误，

对于B，，而，

而，故B正确，

对于C，由平面向量数量积的运算律知C正确，

对于D，，而，

，故D错误，

故选：BC

11. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（　　）

A. D1C∥平面A1ABB1 B. A1D1与平面BCD1相交

C. AD⊥平面D1DB D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1

【答案】AD

【解析】

【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.

【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，

所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；

A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；

∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；

因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.

故选：AD

12. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象最小正周期为

C. 函数的图象在上单调递增

D. 函数的图象关于直线对称

【答案】AC

【解析】

【分析】

先根据函数图像的变换求得的解析式，再求其函数性质即可.

【详解】由题可知，.

因为，故正确；

因为的周期为，故错误；

因为，故可得，故正确；

因为正切函数不是轴对称函数，故错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.将答案填在题中的横线上）

13. 函数的定义域是____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14. 已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据两向量夹角为钝角列不等式，求解的取值范围即可.

【详解】因为与的夹角为钝角，所以，

解得且，即实数的取值范围是.

故答案为：

15. 从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________．

【答案】

【解析】

【分析】基本事件总数n，利用列举法求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有4种情况，由此能求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率．

【详解】从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，

基本事件总数n，

这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有：

（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4种情况，

∴这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为p．

故答案为．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则______.

【答案】    ①.     ②. 1

【解析】

【分析】由图象可得函数的最小正周期，进而得出的解析式；利用平移求出函数，代值计算可得答案．

【详解】设函数的最小正周期为，由图知，解得，所以，因为函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则，因为，所以.

故答案为：；1.

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查周期的求法，考查图象的平移，属于中档题．

四、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）

17. 已知函数，.

（1）判定函数在的单调性，并用定义证明；

（2）若在恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调递增,证明见解析.（2）

【解析】

【分析】（1）先根据求得的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可.

（2）构造函数.根据（1）中函数单调性,结合的单调性,可判断的单调性,求得最小值后即可求得的取值范围.

【详解】（1）函数,

代入可得,则

所以

函数在上单调递增.

证明:任取满足,

则

因为,则

所以,即

所以

函数在上单调递增.

（2）若在恒成立

则,

令

由（1）可知在上单调递增,在上单调递增

所以在上单调递增

所以

所以即可满足在恒成立

即的取值范围为

【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.

18. 某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；

（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；

（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.

【答案】（1）30    （2）平均数为54；中位数55   

（3）.

【解析】

【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；

（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；

（3）计算出抽取的人中，位于的有人，记为，数学成绩位于的有人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为.

所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为.

【小问2详解】

40名读书者年龄的平均数为.

设40名读书者年龄的中位数为，则，解得：，

即40名读书者年龄的中位数为55岁.

【小问3详解】

由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有2人，分别记为，

年龄在区间上的读书者有4人，分别记为.从上述6人中选出2人，则有，

共种情况；

其中恰有人在的情况有，共种情况；

所以恰有人在的概率.

19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，．

（1）求的值；

（2）若，求b的值．

【答案】（1）##0.75   

（2）

【解析】

【分析】在第1问中，由和对原式化简即可.

在第2问中，由面积公式可求，进而根据条件可求出.

【小问1详解】

在中，由三角形面积公式得，由余弦定理得：．

因为，所以，

整理可得．又，所以，

故，所以．

【小问2详解】

，且，．， ，

解得．因为，所以．

20. 已知向量满足.

（1）求关于的解析式；

（2）求向量与夹角的最大值;

（3）若与平行，且方向相同，试求的值.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）或.

【解析】

【分析】（1）由，根据向量的数量积的运算公式，求得，即可求解；

（2）设向量与的夹角为，得到，结合基本不等式，即可求解；

（3）根据题意，得到，结合向量的数量积，列出方程，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意知，可得，

因为，所以，所以，

所以；

【小问2详解】

设向量与的夹角为，则，

因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为，

又因为，所以的最大值为；

【小问3详解】

解：由向量与平行，且方向相同，且，所以，

所以，可得，

解得或.

21. 如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，AC与BD交于点O，，， ．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2) ﹒

【解析】

【分析】(1) 证面面垂直只需证一个平面内有一条直线和另一个平面垂直

(2) 通过作图需找二面角的平面角即可

【详解】（1）证明：由平面ABCD，有;

由四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD：

又因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面，

（2）过O作于E，连结BE，

由（1）知平面，所以，

又因为，，

所以平面BDE，从而；

由，，

所以∠OEB为二面角平面角.

由为等边三角形且O为BD中点，有，，，

由，有，

由，有，从而.

在中，，所以，即.

综上，二面角的大小为﹒

【点睛】面面垂直可通过线面垂直进行证明，二面角的平面角有正有负，解题时要注意结合题设关系进行正确判断