浙江省台州市书生中学2023-2024学年高二数学上学期开学试题（Word版附解析）

台州市书生中学高二年级数学起始考

时间：90分钟    分值：150分

一、单选题7*5＝35

1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得倾斜角的正切值即得．

【详解】k=tan120°=.

故选：B．

2. 圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A. (-1，0)，3 B. (1，0)，3

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.

【详解】根据圆的标准方程可得，

圆心坐标为，半径为，

故选：D.

3. 若直线与平行，则与间的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据与平行，列式求解得，利用平行线间的距离公式代入求解即可.

【详解】因为与平行，所以，得，所以，所以与间的距离为.

故选：C.

4. 已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.

【详解】直线即，故，

设点关于的对称点坐标为．

则解得．

点关于的对称点坐标为．

故选：A．

5. 过点A(1，0)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（    ）

A. ±1 B. ± C. ± D. ±2

【答案】A

【解析】

【分析】

设出直线方程，根据弦长建立关系即可求出.

【详解】由题意，该直线斜率存在，

设直线l方程为，则圆心到直线l的距离为，

则弦，解得.

故选：A.

6. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解.

【详解】命题p：点在圆外等价于，

命题q：直线与圆相交等价于，

从而有，所以p是q的必要不充分条件.

故选：B

7. 若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】可得曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆，直线过定点，化成图形，数形结合可求.

【详解】由整理可得，且，

故曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆，

直线过定点，

由图可知，且，

则要使直线与曲线有两个交点，满足,

故k的取值范围是.

故选：D.

二、多选题3*5=15

8. 已知直线：，：，下列命题中正确的有（    ）

A. 当时，与重合 B. 若，则

C. 当时，与相交 D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】利用直线一般方程的平行垂直公式，分析即得解

【详解】对于A：当时，直线为，直线为，即两线重合，故A正确；

对于B：时，有，解得或（重合舍去），故B错误；

对于C：由B知，当，时，，故C错误；

对于D：时，，即，故D正确．

故选：AD

9. 下列说法错误的是

A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B. 直线的倾斜角的取值范围是

C. 过，两点的所有直线的方程为

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件．

【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误，

对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确，

对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误，

对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大．

10. 如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是（    ）．

A. 曲线与轴围成的面积等于

B. 曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）

C. 所在圆方程为：

D. 与的公切线方程为：

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误；根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误.

【详解】由题意，连接，过点作轴于，轴于，如图所示：

A选项：由图可得面积，故A错误，

B选项：曲线上有，，，，5个整点，故B正确，

C选项：所在圆圆心为，半径为1，故圆的方程为：，故C正确，

D选项：设与的公切线方程为：，根据图像知，则，，

解得，，即，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题4*5＝20

11. 已知点在圆外，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外，可得，从而可求出实数的取值范围

【详解】解：因为在圆外，

所以且，得，

解得或，

所以实数的取值范围为，

故答案：

12. 已知，，，则过A，B，C三点圆的一般方程__________．

【答案】

【解析】

【分析】设圆的一般方程为，解方程组即得解.

【详解】设圆的一般方程为，

由题意得，

解得，，．

圆的一般方程是．

故答案为：．

13. 已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.

【答案】2

【解析】

【分析】由圆方程为求得圆心、半径r为，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．

【详解】由题意得：圆的方程为：

∴圆心为，半径为2，

又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，

故四边形PACB面积的最小值为2．

故答案为：2

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．

14. 已知点，，若圆上存在不同的两点，，使得，且，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】结合题意转化为两圆的位置关系，两圆相交，由圆心距的关系列出不等式，进而求解即可.

【详解】圆，圆心为,半径，

因为，所以点P在以线段AB为直径的圆上，

圆心坐标为，即，

半径，

因为圆上存在不同的两点，，使得，且，所以两圆相交，

则圆心距，所以，

即，解得．

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题．

四、解答题4*15＋20＝80

15. 已知直线和的交点为P．

（1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；

（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）．

【答案】（1）4x－3y－3＝0   

（2）30

【解析】

【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案；

（2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案.

【小问1详解】

由，求得，可得直线和的交点为P（－3，－5）．

由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为，

即4x－3y－3＝0．

【小问2详解】

由题知：设直线m的斜率为k，则直线m的方程为，

故，，且，且，求得，

故、．

故△OAB的面积为．

16. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.

（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；

（2）求过点M的圆O1的切线方程.

【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.

【解析】

【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；

（2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案.

【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2，

若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=，

又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，

则有d=，解得；

（2）根据题意，分2种情况讨论：

当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，

当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，

圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，

所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.

【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设，则圆为：，，从而得到，由此能求出圆的标准方程．

（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程．

【小问1详解】

解： 在直线上，设，

圆与轴相切，圆为：，，

又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；

，解得，

圆的标准方程为．

【小问2详解】

解：由题意得，，设，

则圆心到直线的距离：，

则，，即，

解得或，

直线的方程为：或．

18. 将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成设直线的斜率为

（1）求点的坐标(用表示)及直线的斜率的范围；

（2）令的面积为，试求出的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先设直线由直线过点代 入求出，再联立直线方程直线即可得解；

（2）首先求出底长再求高，带入面积公式，即可得解.

【详解】（1）设直线因为直线过点

所以，

直线直线

故

（2），

所以的取值范围为.

19. 已知直线，圆.

（1）证明：直线l与圆C相交；

（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；

（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；   

（3）点Q恒在直线上，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.

【小问1详解】

证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；

【小问2详解】

圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：

【小问3详解】

设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.