2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.3导数与函数的极值、最值课件

这是一份2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.3导数与函数的极值、最值课件，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，f′x0，极值点，连续不断，2＋∞，∵a0等内容，欢迎下载使用。

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a)，f(b)
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.
2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是__________________________.
f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
3.若函数f(x)＝ x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.
f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
利用导数求解函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是A.当x＝－1时，f(x)取得极小值B. f(x)在[－2,1]上单调递增C.当x＝2时，f(x)取得极大值D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
由导函数f′(x)的图象可知，当－20，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误.
命题点2　求已知函数的极值例2　已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数，求函数f(x)的极值.
因为f(x)＝e2x－ax，所以f′(x)＝2e2x－a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)无极值.
综上，当a≤0时，f(x)无极值；
命题点3　已知极值(点)求参数例3　(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为A.2 B.4C.6 D.2或6
由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；
若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2.
(2)(2023·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋ x2－ax(x>0)有极值，则实数a的取值范围是___________.
∴y＝f′(x)有变号零点.
在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2，∴a>2，即实数a的取值范围是(2，＋∞).
根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3 B.1或－3C.3 D.－1
因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.
(2)(2023·肇庆质检)已知x＝1是函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是A.(1，＋∞) B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1) D.(－∞，1)
依题意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点为x＝1，x＝a，若x＝1是函数f(x)的极小值点，则需a<1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x＝1处取得极小值.
命题点1　不含参函数的最值例4　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为
f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)·cs x＝(x＋1)cs x，x∈[0,2π].
又f(0)＝cs 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cs 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
命题点2　含参函数的最值例5　已知函数f(x)＝x3－3ax.(1)讨论函数f(x)的极值情况；
f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.
由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增， 故f(x)max＝f(2)＝8－6a，
又f(0)＝0，f(2)＝8－6a，
当a≥4时，函数f(x)在[0,2]上单调递减，故f(x)max＝f(0)＝0.
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为_____.
函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
综上，f(x)min＝1.
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x－3的最小值为－2，求a的值.
①若a≥0，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)无最值.②若a<0，令f′(x)＝0，得x＝－a，当x∈(0，－a)时，f′(x)<0；当x∈(－a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增.
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为g(1)＝0，所以方程g(x)＝0只有一个根x＝1，所以－a＝1，即a＝－1，故a的值为－1.
1.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B.f′(x)在x＝－1处取得极小值C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0
根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；
由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.
由函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x，
因为x＝2是f(x)的极值点，可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，
当10，函数f(x)单调递增，
所以f(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意.
5.已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为
由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
6.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；
若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.
7.(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝_________________.
sin x(答案不唯一)
正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值.
8.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为 元.为使全程运输成本最小，汽车应以____km/h的速度行驶.
设全程运输成本为y元，
令y′＝0，得v＝80.当v>80时，y′>0；当0所以当v＝80时，全程运输成本最小.
9.设函数f(x)＝aln x＋ ＋2a2x－4a，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴1－ln a>0，∴010.(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，f′(x)＝ex－e－x－2x.令φ(x)＝ex－e－x－2x，当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数.
由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点.
当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，
故函数g(x)存在一个极值点；当01时，h′(x)>0，故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，
故函数g(x)无极值点.
综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，
11.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则A.abC.aba2
当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.综上，可知必有ab>a2成立.
函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，∵x0是函数f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即ln x0＋1＋2x0＝0，又函数f′(x)＝ln x＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，
当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；
当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
因此b－a的最小值为2.
14.设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为__________.
设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.当－3≤x<－2或00，g(x)单调递增；当－2所以g(x)的值域为[0，e].