2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件

这是一份2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件，共50页。PPT课件主要包含了课前自主预习案，课堂互动探究案，f′x0，连续不断，fafb，最大值，最小值，答案C，答案AD，答案B等内容，欢迎下载使用。

必 备 知 识1.函数的极值函数极值反映的是函数局部的性质
极大值点和极小值点统称为极值点
2.函数的最值反映的是函数整体的性质　(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值________比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
【常用结论】1．有极值的函数一定不是单调函数．2．如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值．
夯 实 基 础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)(2)导数等于0的点一定是函数的极值点．(　　)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点
解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个，故选C.
3．(教材改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为________．
解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.∵0≤x≤3，∴x＝2，当00，∴函数f(x)在区间(2，3)上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝m－3，∵m>m－3，∴x＝0时，f(x)在[0，3]上取得最大值f(0)＝m.∴m＝4.
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．掌握利用导数研究函数最值的方法．4．会用导数研究生活中的最优化问题．
问题思考·夯实技能【问题1】　对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取到极值”的什么条件？   【问题2】　函数最值与均值有何区别？  
答案：必要不充分条件．当f′(x0)＝0时，f(x)不一定在x＝x0处取到极值，例如函数f(x)＝x3；但当f(x)在x＝x0处取到极值时，由极值定义可知必有f′(x0)＝0.
答案：(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能有多个，也可能没有．(2)极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值．
关键能力·题型剖析题型一利用导数研究函数的极值问题角度一　根据导数函数图象判断极值例1 (多选)[2024·江苏镇江模拟]已知f′(x)是函数f(x)的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)A．在(－∞，1)上单调递减B．在x＝－1处取得极大值C．y＝f(x)在x＝－1处切线的斜率小于0D．f(x)在x＝2处取得极小值
解析：由已知，x<1时，f′(x)≤0(只有f′(－1)＝0)，因此f(x)在(－∞，1)上单调递减，A正确；f(－1)不是极值，B错；由f′(－1)＝0知C错；又x<2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(2)是极小值，D正确．故选AD.
题后师说由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
角度二　求函数的极值例2[2024·九省联考]已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．(1)求a；(2)求f(x)的单调区间和极值．
题后师说利用导数求函数极值的一般步骤
角度三　已知极值(点)求参数例3 (1)[2024·山东临沂模拟]函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极小值0，则a＋b＝(　　)A．7　　　B．6　　　C．11　　　D．4
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知函数f(x)＝x2－2xlgax既有极小值又有极大值，则实数a的取值范围是________．
题后师说已知函数极值点或极值求参数的两个要领
巩固训练1　(1)[2024·黑龙江实验中学模拟]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是(　　)A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减
解析：由图象可知：当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥－2时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点，y＝f(x)无极大值．故选C.
(2)若－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(a∈R)的极值点，则f(x)的极小值点为(　　)A．5e－2 B．1 C．－e D．－2
解析：f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex，由题意得f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]e－2＝0，解得a＝－1，故f′(x)＝(x2＋x－2)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－2或1，令f′(x)>0，解得x>1或x<－2，令f′(x)<0，解得－2题型二利用导数研究函数的最值角度一　求函数的最值例4已知函数g(x)＝a ln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
角度二　已知函数的最值求参数例5[2024·吉林长春模拟]函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为________．
题后师说(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．(2)求含有参数的函数f(x)的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
巩固训练2[2024·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
1．[2024·江西宜春模拟]函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内极小值点的个数是(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个
解析：f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，由导函数f′(x)的图象知：函数f(x)在(a，b)内，与x轴有四个交点：从左向右看，第一个点处导数左正右负，是极大值点，第二个点处导数左负右正，是极小值点，第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，第四个点处导数左正右负，是极大值点，所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个，故选A.
2．[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　)A．e2 B．eC．e－1 D．e－2