2022-2023学年山东省青岛第四实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛第四实验中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列数中，哪一个是无理数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

3.  下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  中，，，的对边分别是，，，下列结论中不正确的是(    )

A. 如果，那么是直角三角形，且是斜边
B. 如果，那么是直角三角形，且是直角
C. 如果：：：：，那么是直角三角形，且是直角
D. ：：：：，那么是直角三角形，且是斜边

5.  已知一次函数的图象与轴负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若一组数据，，，，的平均数为，方差为，则对于数据，，，，，平均数和方差分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  现用张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做个盒身或做个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在长方形中，，将沿折叠，使点的对应点落在上，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  的算术平方根是______．

10.  数据，，，，，的平均数为，这组数据的极差为______ ．

11.  若二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______ ．

12.  如图，长方体的底面边长分别为 和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要          ．

13.  如图，在边长为等边中，以为原点建立坐标系，则点的坐标为______ ．

14.  如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若，，则 ______

15.  如图所示，点，在数轴上，，，，以为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数是______．

16.  正方形，，，按如图所示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是______ ，点的纵坐标是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程组：
；
．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为．
在图中关于轴对称图形为，则______ ，______ ；
的面积是______ ；
如果要使以点、、为顶点的三角形与全等，那么点的坐标是______ ．

20.  本小题分
某公司销售部门由四类人员组成：采购人员、销售人员、售后服务人员、经理将各类的人数绘制成扇形图如图和条形图如图，各类人员的月收入见表格请根据图表回答下列问题：

该部门共有______ 人；
直接写出：该部门全体人员月收入的中位数是______ ，众数是______ ；
求该部门人员的平均月收入是多少元？
从平均数、中位数、众数中选择合适的统计量，代表该部门人员收入的平均水平，并说明你的理由．

21.  本小题分
如图，已知，．
试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．
若平分，，求的度数．

22.  本小题分
某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子已知该学校从批发市场花元购买了红、蓝两种颜色的文化衫件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：

学校购进红、蓝文化衫各几件？
通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．

23.  本小题分
如图，是一段遥控车直线双车道跑道甲、乙两遥控车分别从，两处同时出发，沿轨道向匀速行驶，秒后甲车先到达点设两车行驶时间为秒，两车之间的距离为米，则与的关系如图所示，根据图象解决下列问题：

甲车经过______ 秒追上乙车， ______ ．
设相遇前两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______ ；设相遇后两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______ ．
两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为米？

24.  本小题分
如图，直线分别与轴、轴交于、两点．

点的坐标______ 、点的坐标______ ；
已知点坐标为，设点关于直线的对称点为，请直接写出点的坐标；
请在直线上找一点，使的周长最短，求出点的坐标；
请在直线和轴上分别找一点、使的周长最短，直接写出最短周长．

25.  本小题分
介绍一个“能被整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数数位大于等于的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被整除，则这个多位数就一定能被整除例如数字，这个数末三位是，末三位以前是，，即能被整除，那么也能被整除注：这个规律也适用于和
______ ， ______ 填能或不能被整除．
试证明这个“能被整除的数的特征”的数学原理．
若，均为的倍数，且，，，且，，均为整数规定，当时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．

2.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
点的纵坐标等于，
又点到轴的距离是，
点的横坐标是，
故点的坐标为或．
故选：．
先根据在轴上判断出点纵坐标为，再根据点到轴上的距离的意义可得横坐标的绝对值为，即可求出点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离，比较简单．

3.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意．
故选：．
根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
是直角三角形，为斜边，符合题意；
B、，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、：：：：，
，
是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，那么是直角三角形，不符合题意．
故选：．
A、根据三角形内角和定理判断；
B、根据勾股定理的逆定理判断；
C、根据三角形内角和定理判断；
D、根据勾股定理的逆定理判断．
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理：三角形内角和是．

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，
，，
，
的图象经过第一、二、四象限．
结合函数图象得到选项符合题意．
故选：．
由一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，可得出、，由此可以得到，易得答案．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象在第一、二、四象限是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：若样本，，，的平均数为，其方差为，
则对于样本，，，，，
其平均数是：，方差；
故选：．
根据题意，由数据的平均数、方差计算公式，分析计算即可得答案．
本题考查数据的平均数、方差的计算以及性质，熟练掌握当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：设张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，由题意得
．
故选：．
由题意可知：制盒身的铁皮制盒底的铁皮张；盒底的数量盒身数量的倍．据此可列方程组求解即可．
此题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是正确列出方程组的关键．

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
将沿折叠，使点的对应点落在上，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出线段的长是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
根据算术平方根的意义可求．
本题主要考查了算术平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即的平方根是，的算术平方根也是；负数没有平方根．
【解答】
解：，
的算术平方根是．
故答案为：．

10.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，的平均数为，
，
，
这组数据的极差为．
故答案为：．
由平均数公式求出的值，再根据极差的公式：极差最大值最小值求解即可．
此题考查了平均数和极差公式．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．

11.【答案】 

【解析】解：二元一次方程组的解为，
直线与的交点坐标为，
故答案为：．
二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

12.【答案】 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
，，
根据两点之间线段最短，．
故答案为：．
要求所用细线的最短长度，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．

13.【答案】 

【解析】解：，
点，
过点作轴于，

是等边三角形，
，，
，
点的坐标为
故答案为：
根据边长写出点的坐标，再根据等腰直角三角形的性质求出点的横坐标，利用直角三角形的性质求出点的纵坐标即可得解．
本题考查等边三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：和为对顶角，，
，
，
直尺的对边平行，
，
三角形为直角三角形，
．
故答案为：．
首先根据对顶角相等求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据平行线的性质得出，继而可求得的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
点表示的实数是，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是用勾股定理求出．

16.【答案】   

【解析】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：，．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键．

17.【答案】解：


；



． 

【解析】利用乘法的分配律进行运算即可；
先化简，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

18.【答案】解：，
由得，，
把代入，得
，
解得，
把代入，得，
所以原方程组的解为：；
原方程组可化为，
得，，
解得，
得，，
解得，
所以原方程组的解为：． 

【解析】利用代入消元法解方程组即可；
利用加减消元法解方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．

19.【答案】      或或 

【解析】解：点的坐标为，关于轴对称图形为，
所以点的坐标为．
故答案为：；；
的面积是，
故答案为：；
如图所示：

要使以点、、为顶点的三角形与全等，那么点的坐标是或或．
故答案为：或或．
根据关于轴的对称点的坐标特点可得点的坐标；
根据三角形的面积公式解答即可；
根据网格和全等三角形的判定即可得到符合条件的点的坐标．
本题考查了作图轴对称变换，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．

20.【答案】     

【解析】解：该部门总人数为人，
故答案为：；
类型人数为人，
第、个数据分别为万元、万元，
所以这组数据的中位数为万元，众数为万元；
故答案为：万元、万元；
该部门人员的平均月收入是万元；
用中位数代表该部门人员收入的平均水平比较合适．
因为该公司人中不低于万元的有人，占大多数．
由类型人数及其所占百分比可得总人数；
根据中位数和众数的概念求解即可；
根据加权平均数的定义求解即可；
根据众数、中位数和平均数的意义求解即可．
此题考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．

21.【答案】解：，
已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】由可证得，得，已知，等量代换后可得，由此可证得与平行；
由两直线平行，同旁内角互补得，由平分，得，两直线平行，内错角相等，得出．
此题主要考查平行线的判定和性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

22.【答案】解：设学校购进红文化衫件，蓝文化衫件，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进红文化衫件，蓝文化衫件．
元．
答：该校这次义卖活动共获得元利润． 

【解析】设学校购进红文化衫件，蓝文化衫件，根据两种文化衫件共花费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据总利润每件利润数量，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

23.【答案】       

【解析】解：由图可知：甲车经过秒追上乙车，；
故答案为：，；
设与的函数关系式为：，
把和代入得：，
解得：，
，
经过点和，
同理可得：，
故答案为：，；
分两种情况：
当时，，
；
当时，，
；
综上，两遥控车出发后秒或秒，它们之间的距离为米．
根据图可得秒时，甲和乙相遇，又知秒时甲比乙多走米，则秒甲比乙快米，所以秒时甲比乙多走了米，可知的值；
这是一个分段函数，利用待定系数法求解析式即可；
根据可解答．
本题是一次函数的应用，利用了图可解答，分段函数：分别利用待定系数法求解，与方程结合解一元一次方程是解题关键．

24.【答案】   

【解析】解：直线分别与轴、轴交于、两点，
当时，则；
当，则，解得，
点坐标为，点 坐标为，
故答案为：，；
如图，

，，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，交于点，

点关于直线的对称点为，
，
的周长，
此时的周长最短，
设直线的解析式为，
，解得，
，
联立直线得，
，解得，
点的坐标为；
如图作点关于轴的对称点，则的坐标为，

连接交于点，交轴于点，
点、关于轴对称
，
又点、关于直线对称，
，
此时，的周长周长最短；
设直线的解析式为
点的坐标为，点的坐标为，
，解得，
直线的解析式为，
，，
，
即：的周长最短为．
令以及即可求出、两点的坐标；
根据对称性证明，即可解决问题；
连接，交于点，由的周长，可得此时的周长最短，求出直线的解析式，联立直线即可得点的坐标；
作出点关于直线轴的对称点，连接交于点，交轴于点，则此时的周长最短．由、两点的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再根据轴上点的坐标特征，即可求出点的坐标．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称的性质及轴对称最短路线问题，解题的关键是由轴对称的知识，结合图形，利用轴对称的性质及轴对称最短路线问题求解，综合性较强，有一定难度．

25.【答案】  能 

【解析】解：数字，这个数末三位是，末三位以前是，
，．
即能被整除，
那么能被整除，
故答案为：，能；
证明：由题意，设为三位数，，是正整数，
，
，是正整数，
能被整除，即能被整除；
，，
这个数末三位是，末三位以前是，
，
，
是的倍数，且，
或或或或或或，
或或或或或或，
为正整数，
，
，
，
，
，，，
这个数末三位是，末三位以前是，
，
，
，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
而，
的最大值为．
先求出，再判断出能被整除，得出结论；
设为三位数，，是正整数，得出，即可得出结论；
先求出，进而得出，进而求出，进而求出，进而求出，即可得出结论．
此题主要考查了整除问题，能被整除的数的特征，求出是解本题的关键．