2022-2023学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交并补运算即可求解.

【详解】,所以，

故选：A

2．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由指数函数、对数函数、幂函数、二次函数的性质可判断.

【详解】因，故在上单调递减，故A错误；

因，故在上单调递减，故B错误；

，因，故在上单调递增，故C正确；

对称轴为轴，开口向下，故在上单调递减，故D错误.

故选：C

3．对于实数，“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B

【解析】不等式的性质

点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．

4．某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有（    ）

A．10种 B．60种 C．120种 D．125种

【答案】D

【分析】根据条件，分三类情况讨论：选1人、2人和3人，利用排列组合分别求出每类情况的方法数，再利用计数加法原理即可求出结果.

【详解】5名学生中选出1人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种；

5名学生中选出2人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种；

5名学生中选出3人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种；

所以，不同的选择方法有：种.

故选：D.

5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性可得，据此可判断三者之间的大小关系.

【详解】又，故，

而，故，故，

故选：D.

6．如图所对应的函数的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合图象，利用函数的定义域，奇偶性等性质排除BCD选项，即可求解.

【详解】由题图可知，函数的定义域是，而C选项中函数的定义域为，故排除C；

对于B，由，，所以，即函数为奇函数，排除B；

对于D，当时，，，所以，排除D．

对于A，，

当时，，，所以，且函数单调递减；

当时，；

当时，，，所以，且函数单调递增；

当时，，，所以，且函数单调递增；

当时，；

当时，，，所以，且函数单调递增，故A正确.

故选：A．

7．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．

【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），

在男生甲被选中的情况下，

基本事件总数，

男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：

，

男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．

故选：C.

8．的值为（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】利用对数的运算可得答案.

【详解】

.

故选：C.

9．下列说法不正确的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B．一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“恰有一次中靶”互为对立事件

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变

【答案】B

【分析】根据相关系数的意义判断A选项；根据对立事件的定义判断B选项；根据残差图的意义判断C选项；根据方差的性质判断D选项.

【详解】对于A，根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；

对于B，一个人打靶时连续射击三次的可能事件有“至少有两次中靶”， “恰有一次中靶”， “一次靶都没中”，则事件“至少有两次中靶”与事件“恰有一次中靶”不是对立事件，故B不正确；

对于C，根据残差图的意义可知，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高，故C正确；

对于D，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，故D正确.

故选：B.

10．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（    ）

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为

C．有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关

【答案】D

【分析】根据列联表中的数据，结合概率的计算公式，以及独立性检验的思想，逐项判定，即可求解.

【详解】由列联表知，100天中有50天下雨，50天未下雨，

所以夜晚下雨的概率为，所以A正确；

又由未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，所以B正确；

因为，

所以有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以C正确；

在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以D不正确.

故选：D.

11．给出下面四个命题：

①若幂函数过点，则

②若，，则，

③，都有

④“”是“函数是奇函数”的充要条件

其中真命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据幂函数经过的点即可判断①，根据特称命题的否定即可判断②，根据不等式的性质即可判断③，根据奇偶性的性质即可判断④.

【详解】对于①，若幂函数过点，则，故①错误，

对于②，若，，则，，故②错误，

对于③，，都有，故③正确，

对于④，“”是“函数是奇函数”既不充分也不必要条件，例如：满足，但是不是奇函数，又为奇函数，但是并没有.故④错误

故选：A

12．已知函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.

【详解】作出函数的图像如下：

数，且函数有6个零点等价于有6个解，

等价于或共有6个解

等价于函数与共有6个交点，

由图可得与有三个交点，所以与有三个交点

则直线应位于之间，

所以

故选：B.

【点睛】方法点睛：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.

二、填空题

13．如果随机变量，且，那么      .

【答案】0.8/

【分析】先得到正态曲线的对称轴是，得到，即可得到要求的结果．

【详解】因为随机变量，

所以正态曲线的对称轴是，

所以，

所以.

故答案为：0.8.

14．函数的定义域为      .

【答案】

【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.

【详解】由题意得，解得，

故定义域为.

故答案为：

15．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.3，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为      .

【答案】

【分析】根据事件的全概率公式求解.

【详解】该运动员担当中锋，不输球的概率为，

该运动员担当边锋，不输球的概率为，

该运动员担当前腰，不输球的概率为，

所以该球队某场比赛不输球的概率为，

故答案为:.

16．新学期开始，学校要求每名学生上3门选修课和参加2种课外活动.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，从5种课外活动小组中选择2种.不同的选法种数是      .（用数字作答）.

【答案】200

【分析】根据组合数的计算，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】从6门选修课中任意选择3门共有种选法，

从5种课外活动小组中选择2种共有，

根据分步乘法计数原理可得总的选法有种，

故答案为：200

三、双空题

17．在的展开式中，所有项的系数之和为      ，含的项的系数是      .（用数字作答）.

【答案】     64     1215

【分析】令，即可求得所有项系数和，写出展开式通项，列方程求解，即可求解.

【详解】令，得所有项的系数之和为；

展开式中的通项为，

令，得，所以含的项的系数是．

故答案为：；.

18．.根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y（单位：千亿元）之间的一组数据如下：

若每年的进出口总额，x，y满足线性相关关系，则      ，若计划2022年出口总额达到6千亿元，预计该年进口总额约为      千亿元.

【答案】         

【分析】根据平均数的计算，代入可得，进而将代入方程即可求解.

【详解】由表中数据得

将代入中可得，

故，将代入可得，

故答案为：1.6，4.275

19．已知随机变量的分布列如下表所示，当取最小值时，         ，         ．

【答案】         

【解析】先根据离散型随机变量的分布列的性质求出的关系，再根据基本不等式取等号的条件得出的值，最后根据分布列求出数学期望．

【详解】解：由题意得，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

此时随机变量的分布列为

所以，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望及基本不等式的应用，考查考生的运算求解能力．

四、填空题

20．已知函数和函数，若存在实数，使得，则实数k的取值范围是      .

【答案】

【分析】首先求出的导数，由题意可知有解，即 有解，令，求 的最值即可求得的取值范围．

【详解】由 可得，

存在实数，使得，，

有解，即 有解，

令，则，

再另，

，

，即在上单调递增，

，

时，，

时，，

在上单调递减，在 上单调递增，

，

所以．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：解答本题关键是存在实数，使得，转化为有解，即 有解.

五、解答题

21．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.

(1)求选取的3个中至少有1个豆沙粽的概率；

(2)用X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，1

【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案；

（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.

【详解】（1）设选取的3个中至少有1个豆沙粽为事件A，

则事件A的概率；

（2）根据题意，，

又，，

，

故X的分布列如下所示：

则X的数学期望为：.

22．在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立.

(1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率；

(2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望；

(3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）根据分步乘法计算概率，再应用互斥事件的概率是概率的和即得；

（2）分别求出对于概率写出分布列再计算数学期望即可；

（3）先计算甲在1组中得2分或3分的概率，再根据二项分布求概率即可.

【详解】（1）设甲恰好套中1次为事件A，

（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4.

，

，

，

，

，

故X的分布列是：

则X的均值为：；

（3）设甲在1组中得2分或3分的事件为B，

则

设5组游戏中，甲恰有3组游戏中得2分或3分为事件C，

则，

则.

23．已知函数，（其中为常数）

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)单调递增区间是和；的单调递减区间是

(3)

【分析】（1）将代入函数中求导，求斜率，然后利用点斜式写出切线方程即可；

（2）对函数求导，列表分析即可；

（3）先写出函数的表达式，对函数求导，然后将问题进行转化求出即可.

【详解】（1）当时，则，

此时，

所以，又，

所以切点为：

所以此时切线方程为．

（2）因为．

从而，列表如下：

所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是

（3）函数，

有，

设

当函数在区间上为单调递增时，

等价于在上恒成立，

由函数开口向下，对称轴为，

所以问题转化为只要即可，

即，

实数c的取值范围．

24．已知函数，.

(1)若，求m的值及函数的极值；

(2)讨论函数的单调性：

(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.

【答案】(1)，极大值为，无极小值

(2)答案见解析

(3)1

【分析】（1）由可求出，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；

（2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；

（3）方法一：将问题转化为在上恒成立，构造函数，求出后得，再构造函数，对其求导判断其单调性，从而可求出的单调区间，求出其最大值，进而可求出整数m的最小值；方法二：由（2）可知，当时，有最大值，则将问题转化为需要即可，构造函数，利用导数求出其最大值即可.

【详解】（1）的定义域为，

因为，，则，

解得.

当时，，.

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以在时取得极大值且极大值为，无极小值．

（2）因为，

当时，在上恒成立，此时在上单调递增；

当时，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

（3）解法一：若对定义域内的任意x，都有恒成立，

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则.

设，则

所以在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即.

当时，，

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

因为，所以

故整数m的最小值为1

解法二：若对定义域内的任意x，都有恒成立，

由（2）可知，当时，在上单调递增，

因为，显然不符合对定义域内的任意x，都有恒成立

由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以有最大值.

若对定义域内的任意x，都有恒成立，只需要即可.

设，显然在上单调递减，

因为，，

所以要使，只需要整数，

故整数m的最小值为1

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值，即可得到的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.