2022-2023学年天津市四校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年天津市四校（杨柳青一中、47中、百中、咸水沽一中）高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的交集运算求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：B

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】先解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.

【详解】由，得，或，得或，

因为当或时，不一定成立，而当时，或成立，

所以“”是“”的必要而不充分条件，

故选：B

3．乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，该乡镇财政收入（单位：亿元）与年份（单位：年）具有线性相关关系，根据样本数据用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（    ）

A．回归直线过样本的中心点

B．与具有正线性相关关系

C．若该乡镇在第7年，则可断定其财政收入必为4.07

D．若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加0.94亿元

【答案】C

【分析】A.根据回归直线过样本的中心点判断；B.根据判断；C.根据回归分析的意义判断；D. 根据回归直线方程为判断.

【详解】A. 回归直线过样本的中心点，故正确；

B.因为 ，所以与具有正线性相关关系，故正确；

C.该乡镇在第7年，只能估计，不能断定其财政收入为4.07，故错误；

D. 若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加0.94亿元，故正确，

故选：C

4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象关于原点对称排除部分选项，再由，时的函数值判断.

【详解】解：的图象关于原点对称，则是奇函数，排除B；

当时，，排除C；

当时，，排除D；

故选：A

5．从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（    ）

A．300 B．240 C．180 D．150

【答案】D

【分析】根据分步计数原理，结合排列组合即可求解.

【详解】由题意，先选出三人分两种情况，

即2名医生和1名护士，有种选法，

或1名医生和2名护士，有种选法，

再将选出的三个人全排列即可，

所以，共有种安排方法.

故选：D

6．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（    ）

A．31 B． C． D．63

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】∵成等差数列，

∴，

∴，即，解得 或 ，

又∵，∴，

∴，

故选：C.

7．已知函数满足，且当，时，，则大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用变形，由给定不等式确定函数的单调性，再利用指数、对数函数的性质比较大小作答.

【详解】由，得，

由当，时，，得函数在上单调递减，

显然，则，而，

因此，即有，

所以.

故选：D

8．已知，则的值（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】由，得到，然后由求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

故选：C

9．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，结合和，利用导数画出的图象，结合函数图象即可求出实数的取值范围.

【详解】由已知得，

令，则，即，

∵，∴，∴，

∴，∴，

令得，，

可知时，取得极大值 ，时，取得极小值，

其中，，，

当趋近于负无穷时，趋近于零，则函数的草图如下图，

∵不等式的解集中恰有两个整数，

∴当时，不等式的解集中恰有两个整数，

即实数的取值范围是，

故选：.

二、填空题

10．在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为         .

【答案】

【分析】根据二项式系数之和可得，进而结合二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】由题意可得：，解得，

可得的展开式的通项为，

令，解得，则，

所以的系数为.

故答案为：.

11．某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为            .

【答案】/

【分析】根据正态分布的性质求解即可.

【详解】由题意得，，

所以

所以，

故答案为：

12．若，是假命题，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】根据题意分析可得，是真命题，结合对勾函数单调性运算求解.

【详解】由题意可得：，是真命题，

因为在上单调递增，则，可得

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

13．已知，则的最小值为          .

【答案】

【分析】巧用1的代换根据基本不等式求最值.

【详解】

∵，∴，，且，

∴

，当且仅当时，

即时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

三、双空题

14．天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是         （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高          （分数作答）.

【答案】         

【分析】根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津，

若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为；

若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为；

则，且,

所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高.

故答案为：，

四、填空题

15．设表示不超过的最大整数，如，.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是       .

【答案】

【分析】设，利用导数画出部分的函数图象，在求出的函数解析式，并画出函数图象，数形结合即可求解.

【详解】设，由已知条件得，则有且只有个根，

当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

所以当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

故函数图象如下图所示：

由图可知，，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：数形结合判断函数零点个数的方法

对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

五、解答题

16．已知函数其中为常数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)的递增区间为，递减区间为，

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）先求函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；

（3）将问题转化为，由（2）可求出的最大值，然后解不等式可得结果.

【详解】（1）当时，，则

，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

（2）的定义域为，

由，得，

当时，，当时，，

所以的递增区间为，递减区间为，

（3）由（2）可知当取得最大值，

因为对任意，不等式恒成立，

所以，即，，

解得或，

即的取值范围为.

17．如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，.

(1)证明：平面平面；

(2)求到平面距离；

(3)求直线与平面夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）取和 的中点和，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，，结合，即可得证；

（2）由平面的法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解；

（3）由平面，得到平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，求得直线与平面夹角余弦值.

【详解】（1）证明：取和 的中点和，连接和，

在正四棱柱中，可得为正三角形，所以，

以为原点，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，

如图所示， 可得，

则，

设平面的法向量为，则，

取，可得，所以，

设平面的一个法向量为，则

取，可得，所以，

因为，即，所以平面平面.

（2）由平面的法向量为，且，

设直线与平面所成的角为，

可得，

又因为，所以到平面的距离为.

（3）由为正三角形，且为的中点，可得，

在正三棱柱中，可得平面，

所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量，

又由，可得，

设直线与平面夹角为，

可得，

则，即直线与平面夹角的余弦值为.

18．在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位.随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮.某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏.游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶.小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为.

(1)按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率；

(2)估计小明得到熊猫玩偶的概率；

(3)记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析；.

【分析】（1）根据题意，事件包含两种情况，小明判断题答对1道，选择题答对0道，

或者小明判断题答对2道，选择题答对1道，即可得到结果；

（2）根据题意，小明得分6分，或者得分分，列出式子即可得到结果；

（3）根据题意，由条件可得的可能取值有，然后分别求出其对应的概率，即可得到结果.

【详解】（1）事件表示“小明判断题得分比选择题得分多2分”，

则事件包含小明判断题答对1道，选择题答对0道，

或者小明判断题答对2道，选择题答对1道，

则.

所以小明判断题得分比选择题得分多2分的概率.

（2）事件表示“小明得到熊猫玩偶”，

则事件包含小明得分6分，或者得分分，

且小明得分6分表示判断题答对2题且选择题答对1题，

或者判断题答对1题且选择题答对2题，

概率为，

小明得分8分表示判断题答对2题且选择题答对2题，

概率为，所以.

所以小明得到熊猫玩偶的概率为.

（3）由题意可知，的可能取值有，

则，

，

，

，

，

则分布列为

则.

19．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为N,

，，，.

(1)求与的通项公式；

(2)设，，求数列的前项和；

(3)设，求.

【答案】(1)，；

(2)；

(3)

【分析】（1）利用等差数列的前项和公式，等差数列以及等比数列的通项公式求解；

（2）利用裂项法求和；

（3）利用错位相减法求和.

【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，

由已知条件得，即，

解得（舍去）或，所以，，

（2）

；

（3）由已知得 ，

，

则表示数列的前项和，

令是数列的前项和，

则，

，

，

即，

故.

20．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围；

(3)已知函数，对任意的，求证：.

【答案】(1)在上递增，在上递减；

(2)

(3)证明见解析.

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；

（2）将问题转化为恒成立，设，对函数求导，分三种情况讨论的最值，即可得解；

（3）由题意得，求导后可判断在上递增，则，令（），则，（），然后利用累加法可证得结论.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，，则，

令，则，

所以在上递增，

因为，所以当时，，即，当时，，即，

所以在上递增，在上递减；

（2）由，得，

即，

所以，

令，

则

，

①若，即时，当时，，

所以在上递增，而，

所以当时，，不合题意；

②若，即时，

当或时，，当时， ，

所以在上递增，在和上递减，

因为，所以当且仅当，即，

所以当时，，

③若，即时，，

由于，所以由②可得，

所以当时，，

综上，的取值范围为；

（3）

，

则，

当时，，所以在上递增，

所以，所以，

所以，

令（），则（），

即（），

所以，（），

所以，即，

同理得，，…，，

所以，

所以.

【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第（3）问解题的关键是利用导数判断出在上递增，则可得，然后令，转化为，（），再给依次增加1，得到个不等式相加可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.