2024届人教版高考数学一轮复习第5章5-2等差数列及其前n项和课件

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第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.2.等差中项如果三个数a,A,b组成等差数列,那么 A 叫做a与b的等差中项,由等差数列的定义知 2A =a+b.温馨提示1.a,A,b是等差数列的充要条件是2A=a+b.2.数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2).
3.等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d .4.等差数列的前n项和公式
1.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.2.若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.4.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
6.若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
2.已知等差数列{an}满足a3=13,a13=33,则a7等于(　　)A.19B.20C.21D.22
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=　　　　　. 
5.在100以内(包括100)的正整数中有　　　　　个能被6整除. 
例1　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(　　)A.3B.4C.5D.6
(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1.
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于(　　)A.12B.13C.14D.15
(3) 设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　　. 
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于(　　)A.100B.99C.98D.97
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=　　　　　. 
(3)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=　　　　　. 
解 由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.
解题心得1.等差数列的判定与证明方法
2.判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.
命题角度1 等差数列项的性质的应用例3　(1)在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于(　　)A.95B.100C.135D.80
由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.
(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于(　　)A.72B.88C.92D.98
(3)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=　　　　.
因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.
(3)在等差数列{an}中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为　　　　　. 
对点训练3(1)已知等差数列{an},若a2=2,a3+a5+a7=15,则数列{an}的公差d等于(　　)A.0B.1C.-1D.2
根据等差数列的性质,a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1,故选B.
(2)已知等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于(　　)A.3B.6C.17D.51
(4)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=　　　. 
∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.
例5　(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为(　　)A.6B.7C.8D.9
(2)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
解题心得求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法
对点训练4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是(　　)A.5B.6C.7D.8
依题意得2a6=4,2a7=-2,则a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.