专题09 一元一次方程的应用（知识大串讲）-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题09  一元一次方程得应用（知识大串讲）

【知识点梳理】

考点1：和、差、倍、分问题

 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几” 或“增加、减少、缩小” 等等词语体 现等量关系。 审题时要抓住关键词， 确定标准量与比校量， 并注意每个词的 细微差别。

考点2：调配/配套问题

从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分” 关系，要注意调 配 对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化， 常见题型有： ①既有调入又有调出； ②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； ③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

考点3：行程中相遇、追及问题

要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。 相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或 同时 走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是： 两人的路程差等于追及的路 程或以追及时间为等量关系。

①同时不同地： 甲的时间=乙的时间，甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相 距的路程

②同地不同时； 甲的时间=乙的时间-时间差，甲的路程=乙的路程

③环形跑道上的相遇和追及问题： 同地反向而行的等量关系是两人走的路程和 等于一圈的路程； 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路 程。

考点4：流水行程问题

船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是： 顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风） 流速度； 逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风） 流速度。 ⑤车上（离） 桥问题： a 车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 b 车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 c 车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 d 车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出 发的时间和地点。

考点5：工程问题

 工作总量＝工作效率×工作时间； 合做的效率＝各单独做的效率的和。 当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图 来帮助理解题意。

考点6：利润率问题

（1）商品的利润＝商品售价－商品的进价；

（2）商品利润率＝商品利润／商品进价×100％ 注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。

（3） 商品售价=商品标价×折扣率

考点7：数字问题

考点8：分段计费问题

考点9：方案问题

【典例分析】

【考点1：和差倍分问题】

【典例1】（2022春•晋江市期末）《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（　　）

A．9x﹣11＝6x+16 B．9x+11＝6x﹣16 

C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x﹣16

【变式1-1】（2022春•余杭区期末）某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种2棵则余21棵；若每人种3棵则差24棵．设该社团有x名学生，则可列方程（　　）

A．2x+24＝3x+21 B．2x﹣24＝3x﹣21 

C．2x﹣21＝3x+24 D．2x+21＝3x﹣24

【变式1-2】（2022春•临汾期末）某寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位．问该校有多少学生住宿？如果设该校有x人住宿，那么依题意可以列出的方程（　　）

A．+5＝ B．+5＝ 

C．﹣5＝ D．﹣5＝

【变式1-3】（2022春•鲤城区校级期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（　　）

A．6x+14＝8x B．6（x+14）＝8x C．8x+14＝6x D．8（x﹣14）＝6x

【考点2：调配/配套问题】

【典例2】（2021秋•老河口市期末）有蓝色和黑色两种布料，其中蓝布料每米30元，黑布料每米50元．

（1）若花了5400元买两种布料共136米，两种布料各买了多少米？

（2）用蓝布料做上衣，每件上衣需要布料1.5米，用黑布料做裤子，每条裤子需要布料1.2米，一件上衣和一条裤子配成一套．购买这两种布料共162米做上衣和裤子，布料全部用完，且做的上衣和裤子刚好完全配套，购买这162米布料花了多少元？

【变式2-1】（2021秋•定州市期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．

（1）七年级2班有男生、女生各多少人？

（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每

【变式2-2】（2021秋•官渡区期末）如图1，长方体纸盒的底面为正方形，侧面为长方形．

如图2，长方形硬纸板以两种方法裁剪．

方法一：一张纸板剪4个侧面；

方法二：一张纸板剪2个侧面和4个底面．

现有50张长方形硬纸板，其中x张用方法一裁剪，其余的用方法二裁剪．

（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）多少张硬纸板用方法一裁剪，多少张硬纸板用方法二裁剪，能使裁剪出的侧面和底面刚好配套？

【考点3：行程中相遇、追及问题】

【典例3】（2021秋•沙坡头区校级期末）列方程解应用题

电瓶车的速度是30千米/时，摩托车的速度是50千米/时，两车相距240千米．

（1）如果两车同时出发，同向而行（摩托车在后），那么经过几小时摩托车能追上电瓶车？

（2）如果两车同时出发，相向而行，那么经过几小时两车相距80千米？

【变式3-1】（2022•苏州模拟）小明如果以5km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为xkm，那么可列方程为（　　）

A．﹣2 B．＝ 

C．﹣2＝+2 D．＝

【变式3-2】（2022春•仁寿县期中）甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是（　　）

A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时

【变式3-3】（2021秋•潍坊期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．

（1）乙车的行驶速度是多少千米/时？

（2）相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？

【考点4：流水行船问题】

【典例4】（2021秋•瓦房店市期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了6小时，已知船在静水的平均速度是30千米/小时，求水流速度．

【变式4-1】（2020秋•湘潭期末）盛夏，某校组织湘江夜游，在水流速度为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后逆江而上到C地下船（C在AB之间），共乘船4小时．已知A，C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时．

（1）A地沿江而下至B地时船航行的速度为　  　千米/时，设BC两地的距离为x千米，则B地逆江而上到C地时船航行的时间用代数式表示为　  　小时．

（2）求AB两地间的距离．

【变式4-2】（2021秋•硚口区期中）飞机的无风航速为akm/h，风速为ykm/h．有一架飞机先顺风飞行13h后，又逆风飞行6.5h．

（1）两次航程该飞机共飞行多少千米？

（2）若y＝20，求飞机顺风飞行的航程比逆风飞行的航程多多少千米？

【考点5：工程问题】

【典例5】（2021秋•庄河市期末）修理一批零件，如果由一个人单独做要用20h，现先安排1人用2h整理，随后又增加一批人和他一起又做了3h，恰好完成修理工作．假设每个人的工作效率相同，那么增加修理的人数是多少？

【变式5-1】（2022秋•奉贤区期中）区域需要将一段长为120米的绿化带进行整修，整修任务由甲、乙两个工程队先后接力共同完成．已知甲工程队每天可以整修8米，乙工程队每天可以整修6米，两个工程队共用了18天，问甲、乙两个工程队整修绿化带分别参加了几天？

【变式5-2】（2021秋•上思县期末）某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩12m2地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺3m2瓷砖．

（1）求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积．

（2）现该学校有20个宿舍的地板和36m2的走廊需要铺瓷砖，某工程队有4名一级技工和6名二级技工，一开始有4名一级技工来铺瓷砖，3天后，学校根据实际情况要求3天后必须完成剩余的任务，所以决定加入一批二级技工一起工作，问需要安排多少名二级技工才能按时完成任务？

【考点6：销售问题】

【典例6】（2021秋•开福区校级期末）2021年，平和堂的一家服装店因新冠疫情的再次出现，将某种自创品牌的服装打折销售．如果每件服装按标价的6折出售，可盈利80元；若每件服装按标价的5折出售，则亏损80元．

（1）每件服装的标价为多少元？

（2）若这种服装一共库存80件．按标价7.5折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利5600元，求按7.5折出售的服装有多少件？

【变式6-1】（2021秋•开福区校级期末）列方程解应用题：

一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件进价50元，利润率为60%．

（1）A种商品每件利润为 　 　元，每件B种商品售价为 　 　元．

（2）若该商场购进A、B两种商品共80件，恰好总进价为3400元，求购进A种商品多少件？

【变式6-2】（2021秋•秀屿区校级期末）今年“直播带货”受到消费者的追捧和信赖，许多商家和店铺也纷纷开设自己的直播间进行销售．已知某店铺利用“直播带货”销售甲、乙两种商品．该店铺第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的一半还多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）

（1）该店铺购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该店铺第二次购进甲、乙两种商品的进价与第一次相同，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次购进的两种商品都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？

【考点7：数字问题】

【典例7】（2021秋•西宁期末）一个两位数，十位上的数字是3，把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新数比原数小18，求这个两位数．

【变式7-1】（2021秋•孟村县期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数．设原两位数的个位数字是x，根据题意可列方程为（　　）

A．2x+x+10x+2x＝99 B．10×2x+x﹣（10x+2x）＝99 

C．10×2x+x+x+2x＝99 D．10×2x+x+10x+2x＝99

【变式7-2】（2020秋•广安期末）如图1是2021年1月的日历，请据图回答下列问题：

（1）如图1，如果本周六对应日期用x（2≤x≤23，且x为整数）表示，那么本周五对应日期可以表示为　   　，下周六对应日期可以表示为　   　；

（2）如图2，若用a表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与a之间的数量关系，并说明理由．

【考点8：分段收费问题】

【典例8】（2022春•江都区期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图．

（1）若某户居民1月份用水8m3，则水费 　   元；

（2）若某户居民某月用水xm3，则用含x的代数式表示水费；

（3）若某户居民3、4月份共用水15m3，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？

【考点9：方案问题】

【典例9】（2021秋•开封期末）在新冠肺炎防疫工作中，某药店出售酒精与口罩，酒精每瓶定价12元，口罩每个定价6元，药店现开展促销活动，向大家提供两种优惠方案：①买一瓶酒精送一个口罩；②酒精和口罩都按定价的80%付款．小明为班级采购30瓶酒精，x个口罩（x＞30）．

（1）若小明按方案①购买，需付款 　   　元（用含x的代数式表示）；若小明按方案②购买，需付款 　    　元（用含x的代数式表示）；

（2）购买多少个口罩时，方案①和方案②费用相同？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝50时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．

【变式9-1】（2021秋•重庆期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售某种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班准备选择其中一家商店购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（x＞6）．

（1）用含x的代数式表示在这两家商店购买各需付款多少元；

（2）若购买15盒乒乓球，请你通过计算，说明此时在哪家商店购买较为合算？

（3）当购买乒乓球多少盒时，到这两家商店付款一样多．

【变式9-2】（2021秋•沙坡头区校级期末）列方程解应用题

元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题：

（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？

（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．

（3）买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用．