专题04 有理数的乘除法（知识大串讲）-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题04 有理数的乘除法（知识大串讲）

【知识点梳理】

考点1  有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数同0相乘，都得0．

（2）几个有理数相乘时积的符号法则：

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．

注意：第一个因数是负数时，可省略括号．

（2）乘法交换律：abc=cab=bca

乘法结合律：a(bc)d=a(bcd)=……

分配律：a(b+c+d+…+m)=ab+ac+ad+…+am

考点2  有理数的除法

（1）倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab＝1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.

（2）有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.

（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．）

0除以任何一个不为0的数，都得0．

【典例分析】

【考点1 有理数的乘法运算】

【典例1】（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣）的结果是（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12

【答案】B

【解答】解：原式＝+（6×）

＝3．

故选：B．

【变式1-1】（2022•滨海新区二模）计算（﹣3）×7的结果等于（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣21 D．21

【答案】C

【解答】解：原式＝﹣（3×7）

＝﹣21．

故选：C．

【变式1-2】（2022•香洲区模拟）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．a+b＞0 D．ab＞0

【答案】C

【解答】解：A选项，a＜b，故该选项不符合题意；

B选项，|a|＜|b|，故该选项不符合题意；

C选项，∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，

∴a+b＞0，故该选项符合题意；

D选项，∵a＜0，b＞0，

∴ab＜0，故该选项不符合题意；

故选：C．

【典例2】（2022•枣庄一模）已知|x|＝2，|y|＝1，且xy＜0，则x+y＝（　　）

A．3 B．3或﹣3 C．1或﹣1 D．1

【答案】C

【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝1，

∴x＝±2，y＝±1，

又∵xy＜0，

∴x＝2，y＝﹣1或x＝﹣2，y＝1，

当x＝2，y＝﹣1时，x+y＝1，

当x＝﹣2，y＝1时，x+y＝﹣1，

∴x+y的值为1或﹣1．

故选：C．

【变式2-1】（2021秋•姑苏区校级期末）若|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值为（　　）

A．5或﹣5 B．﹣1或1 C．5或﹣1 D．1或﹣5

【答案】B

【解答】解：因为|x|＝2，|y|＝3，

所以x＝±2，y＝±3，又xy＜0，

所以当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；

当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1．

则x+y＝±1，

故选：B．

【变式2-2】（2021秋•邯山区校级期中）若|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的值是（　　）

A．2 B．﹣8 C．8或﹣8 D．2或﹣2

【答案】D

【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，

∴a＝±3，b＝±5．

∵ab＜0，

∴a与b异号．

∴当a＝3，则b＝﹣5，此时a+b＝3﹣5＝﹣2．

当a＝﹣3，则b＝5，此时a+b＝﹣3+5＝2．

综上：a+b＝2或﹣2．

故选：D．

【考点2 有理数的乘法运算定律】

【典例3】（章贡区校级月考）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣）

【解答】解：（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣）

＝（﹣8）×（﹣1.25）×9×（﹣）

＝10×（﹣1）

＝﹣10．

【变式3-1】（徐闻县期中）×（﹣）××．

【解答】解：×（﹣）××

＝（×）×（﹣×）

＝×（﹣）

＝﹣．

【变式3-2】（海拉尔区校级月考）（﹣0.25）×（﹣）×4×（﹣18）．

【解答】解：原式＝﹣（××4×18）＝﹣14．

【典例4】（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算：

①；

②．

【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）

＝3+1﹣6

＝﹣2．

②原式＝（﹣100+）×24

＝﹣100×24+×24

＝﹣2400+2

＝﹣2398

【变式4-1】（郯城县校级月考）（）×（﹣60）

【解答】解：原式＝﹣15﹣25+50＝10．

【变式4-2】（2021秋•头屯河区期末）用简便方法计算：29×（﹣3）．

【解答】解：29×（﹣3）

＝（30﹣）×（﹣3）

＝30×（﹣3）﹣×（﹣3）

＝﹣90+

＝﹣89．

【典例5】（2020秋•兰山区月考）25×﹣25×+25×（﹣）

【解答】解：25×﹣25×+25×（﹣）

＝25×（﹣﹣）

＝25×0

＝0．

【变式5】（红河州校级期中）用简便方法计算：

（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34  

（2）（﹣﹣+﹣）×（﹣60）

【解答】解：（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34

＝﹣13×﹣×13﹣×0.34﹣0.34×

＝﹣13×（+）﹣（+）×0.34

＝﹣13×1﹣1×0.34

＝﹣13﹣0.34

＝﹣13.34

（2）（﹣﹣+﹣）×（﹣60）

＝（﹣）×（﹣60）﹣×（﹣60）+×（﹣60）﹣×（﹣60）

＝20+15﹣12+28

＝51

【考点3 倒数】

【典例6】（2022•盘锦）﹣6的倒数是（　　）

A． B．﹣0.6 C． D．6

【答案】A

【解答】解：﹣6的倒数是1÷（﹣6）＝．

故选：A．

【变式6-1】（2022•深圳）下列互为倒数的是（　　）

A．3和 B．﹣2和2 C．3和﹣ D．﹣2和

【答案】A

【解答】解：A．因为3×＝1，所以3和是互为倒数，因此选项A符合题意；

B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项B不符合题意；

C．因为3×（﹣）＝﹣1，所以3和﹣不是互为倒数，因此选项C不符合题意；

D．因为﹣2×＝﹣1，所以﹣2和不是互为倒数，因此选项D不符合题意；

故选：A．

【变式6-2】（2022•广安）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　）

A．2022 B．﹣2022 C．﹣ D．

【答案】D

【解答】解：2022的倒数为．

故选：D．

【考点4 有理数的除法运算】

【典例7】（2021秋•平罗县期末）计算：．

【解答】解：

＝

＝﹣×36﹣×36+×36

＝﹣27﹣6+15

＝﹣18．

【变式7】计算：．

【解答】解：

＝

＝﹣×36﹣×36+×36

＝﹣27﹣6+15

＝﹣18

【考点5有理数的乘除混合运算】

【典例8】（2022春•闵行区校级期中）计算：﹣56×（﹣）÷（﹣1）．

【解答】解：原式＝﹣56×（﹣）×（﹣）

＝﹣15．

【变式8】（2022春•普陀区校级期中）计算：（﹣）×（﹣）÷（﹣3）．

【解答】解：原式＝﹣×××

＝﹣．

【考点6 有理数的加减乘除】

【典例9】（2021春•虹口区校级期中）计算：．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝1．

【变式9】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：．

【解答】解：原式＝×﹣×+×

＝﹣+

＝．