专题01 有理数的分类、数轴、相反数及绝对值（知识大串讲）-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题01  有理数的分类、数轴、相反数及绝对值（知识大串讲）

【知识点梳理】

考点1   正数和负数

1.   概念 

 正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

  注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

  （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）

2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

考点2   有理数

1.   概念 

整  数：正整数、0、负整数统称为整数。

分  数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）

 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

 2.分类：两种

 ⑴按正、负性质分类：                     ⑵按整数、分数分类：

                       正有理数  正整数                             正整数      

              有理数             正分数                      整数    0            

                         零                         有理数          负整数   

                       负有理数  负整数                      分数   正分数

                                 负分数                             负分数

考点3 数轴

1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

           三要素：原点、正方向、单位长度

 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。           

             比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 

   3.应用      求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 

              （注意不带“+”“—”号）

考点4   相反数

 1.概念  代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

                （0的相反数是0）

          几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，

若a＋b=0，则a与b互为相反数。

                     两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

3.多重符号的化简   

                    多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数

（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）

考点5  绝对值

1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

               一个正数的绝对值是它的本身  （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）

 2.代数意义    一个负数的绝对值是它的相反数

                 0的绝对值是0

3.代数符号意义：

a ＞0，|a|=a     反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0

a = 0， |a|=0          

a＜0， |a|=‐a

  注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。

 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0

              1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

6.比较大小  

              2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

                              两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

【典例分析】

【考点1 正数和负数】

【典例1】（2022春•崇明区校级期中）如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出8元记作（　　）

A．5元 B．﹣11元 C．11元 D．﹣8元

【变式1-1】（2022春•信都区期中）如果支出30元记作﹣30元，那么收入100元记作（　　）

A．100元 B．70元 C．﹣100元 D．﹣130元

【变式1-2】（2022春•龙凤区期中）在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作+0.35m，则小亮跳出了1.85m，应记作（　　）

A．+0.15m B．﹣0.15m C．+0.35m D．﹣0.35m

【变式1-3】（2021秋•开封期末）如图，检测排球的质量，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面已检测的四个排球中其中质量最接近标准的是（　　）

A． B． C． D．

【考点2 有理数】

【典例2】（2021秋•让胡路区校级期末）把下列各数填入相应的集合中：

+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%，π，﹣0.2020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．

正分数集合：{　            　…}；

正整数集合：{　          　…}；

整数集合：{　                  　…}；

有理数集合：{　                　…}．

【变式2-1】（2021秋•台江区校级期末）在一组数3.14，0，﹣（﹣3），﹣π，，3.2121121112…，﹣5中，非负整数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2-2】（2022春•乐平市期中）在四个负数：﹣3，﹣1，﹣4，﹣6中，最小的是（　　）

A．﹣1 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣4

【考点3 数轴】

【典例3】（2021秋•唐县期末）如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【变式3】（2022春•南岗区校级期中）一名同学画了四条数轴，只有一个正确，你认为正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【典例4】（2021秋•鹿邑县期末）在数轴上，到表示﹣6的点的距离等于6个单位长度的点表示的数是（　　）

A．12 B．﹣12 C．0或﹣12 D．﹣12或12

【变式4-1】（2021秋•天津期末）在数轴上，A，B两点之间的距离是5，若点A表示的数是2，则点B表示的数是 　    ．

【变式4-2】（2021秋•绵竹市期末）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（　　）

A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10

【典例5】（2022春•郧阳区期中）如图所示，直径为单位1的圆从表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　   　．

【变式5-1】（2022春•长丰县期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（　　）

A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1

【变式5-2】（2022春•洛阳期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　）

A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1

【考点4 相反数】

【典例6】（2022春•南岗区校级期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　）

A．﹣（﹣2）和2 B．4和﹣（+4） C．和﹣3 D．5和|﹣5|

【变式6-1】（2022春•宁远县期中）的相反数是（　　）

A．2022 B．﹣2022 C． D．

【变式6-2】（2020秋•肃州区期末）﹣（+2）的相反数是（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

【变式6-3】（2022•鼓楼区校级二模）π﹣1的相反数是 　   　．

【典例7】（2021秋•闽侯县期中）当x＝　  　时，1﹣2x与x互为相反数．

【变式7】（2021秋•吉林期中）若a、b互为相反数，则a+（b﹣4）的值为 　　．

【考点5 绝对值】

【典例8】（2022春•仓山区校级期中）|﹣2022|的值（　　）

A． B．2022 C． D．﹣2022

【变式8-1】（2022春•河源期中）若|x|＝﹣x，则x一定是（　　）

A．零 B．负数 C．非负数 D．负数或零

【变式8-2】（2022春•海淀区校级期中）﹣5的绝对值是（　　）

A．5 B．﹣5 C． D．﹣

【典例9】（2022春•普陀区校级期中）若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a+b＝　    ．

【变式9-1】（2021秋•思明区校级期末）若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝（　　）

A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3

【变式9-2】（2021秋•陇县期末）已知|x|＝4，|y|＝5且x＞y，则2x﹣y的值为（　　）

A．﹣13 B．+13 C．﹣3或+13 D．+3或﹣13

【典例10】（2021秋•河东区校级期末）若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．2

【变式10】（2022春•东乡区期中）如果a•b＜0，那么＝　   　．

【典例11】（2021秋•九龙县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　　0，b﹣a　　0，c﹣a　　0．

（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．

【变式11-1】（2022春•宾阳县期中）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|﹣|b﹣2|的结果是（　　）

A．1 B．2b﹣1 C．2a﹣3 D．﹣1

【变式11-2】（2021秋•唐山期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b　　0，a+b　　0，a﹣c　　0．

（2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|．

【考点6有理数的大小比较】

【典例12】（2022春•普陀区校级期中）比较大小：﹣　  　﹣（填“＜”或“＞”或“＝”）．

【变式12-1】（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣|﹣|　  　﹣（﹣5.25）．（用“＞”或“＜”填空）

【变式12-2】（2021秋•铜梁区校级期末）若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（　　）

A．m＜m2＜ B．m2＜m＜ C．＜m＜m2 D．＜m2＜m

【变式12-3】（2022春•道外区期末）如图，数轴上A、B两点所表示的两个数分别是m、n，把m、n、﹣m、﹣n按从小到大顺序排列，排列正确的是（　　）

A．﹣m＜﹣n＜m＜n B．m＜n＜﹣m＜﹣n C．m＜﹣n＜﹣m＜n D．m＜﹣n＜n＜﹣m