2022-2023学年上海市宜川中学高二下学期数学期末模拟测试题2含答案

这是一份2022-2023学年上海市宜川中学高二下学期数学期末模拟测试题2含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若，则 ．
【答案】
【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.
【详解】
.
故答案为:.
2．已知函数在处可导，若＝1，则 ．
【答案】
【分析】利用导数的定义分析即可.
【详解】
即
故答案为：.
3．若点，分别圆：与圆：上一点，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】由几何关系求解
【详解】因为，所以两圆相离，所以的最小值为
故答案为：4
4．同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中，成功次数的数学期望是 ．
【答案】5
【分析】利用对立事件的概率求得同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现的概率，再结合二项分布的期望公式，即可得答案.
【详解】由题意同时抛掷两颗骰子，3点或6点都不出现的概率为,
故同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现的概率为，
在9次试验中，成功次数为，则,
故，
故答案为：5
5．二项式的展开式中整式项共有 项．
【答案】7
【分析】直接根据二项式定理计算得到答案.
【详解】展开式的通项为，
，故，，故共有个整式项.
故答案为：.
6．已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 ．
【答案】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义即可求解.
【详解】设切点为，
由，求导得，可得切线的斜率为，
因为切线倾斜角为，则斜率是1，即，解得，
故切点的坐标为.
故答案为：.
7．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，他任意按最后一位数字，则不超过2次就按对的概率为 ．
【答案】/
【分析】分第一次按对和第二次才按对，结合概率公式求解即可.
【详解】“第1次按对”为事件，“第2次按对”为事件.
则不超过2次就按对的概率为
.
故答案为：.
8．已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先求出，等价于，则只要直线在半圆上方即可，解不等式即得解.
【详解】函数的定义域为，根据已知得，
所以，
因为恒成立，
即，
即
令，，
则只要直线在半圆上方即可，
即圆心到直线的距离大于圆的半径2，
即，解得（舍去负值），
故实数的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查对新定义的理解和应用，考查不等式的恒成立问题的求解，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】对函数求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.
【详解】由，得，
令，则，
令恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，g（x）单调递减；
当时，，g（x）单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
10．若函数，存在零点，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】函数，存在零点，等价于，在上有解，即函数与在上有交点，令求出函数在上的值域，即可得到参数的取值范围.
【详解】解：因为函数，存在零点，
等价于，在上有解，
即在上有解，
即函数与在上有交点，
令
当时，，，即在上单调递增，所以；
当时，，，
令，解得，即在上单调递增，在上单调递减，所以；
故在上的值域为，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查函数的零点，利用导数研究函数的最值，属于中档题.
11．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 ．
【答案】
【详解】设点坐标为，则有，因为以为切点可作直线与两曲线都相切，所以，即
或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：，，令，即，得，可判断 在 上递增，在 上递减，所以当时有极大值也是最大值，，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.
12．已知曲线，，其中.
①当时，曲线与有4个公共点；
②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；
③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；
④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；当时，可知，当取同一个值时，即可判断②；当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得即可判断③；分别讨论当和时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：当时，曲线， ，令可得，当时，，当时，，所以与有4个公共点分别为，，，，共个，故①正确；
对于②：当时，由与的方程可知，当取同一个值时，
，，当时，，所以，
所以曲线围成的区域面积小于曲线围成的区域面积；故②不正确；
对于③：当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得，所以，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；故③正确；
对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数，当时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多，所以曲线围成的区域内整点个数不少于曲线围成的区域内整点个数，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想.
二、单选题
13．某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有（ ）
A．42种B．30种C．20种D．96种
【答案】A
【分析】利用插空法，分两个新节目在一起和两个新节目不在一起两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】原定的个节目形成个空．
当插入的这两个新节目在一起时，有插法；
当插入的这两个新节目不在一起时，有插法，
所以总的不同插法的种数为种，即新节目单可能有种排法．
故选：A．
14．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先对求导数，将代入导数求得，再将代入，求得，用点斜式求出直线方程即可．
【详解】由，两边求导得：
即
所以，因此，即
又，即
故在处的切线方程为
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，熟知切线方程计算的要点是解题的关键．
15．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高（单位：）的情况，得出，随机测量一株水稻，其株高在（单位：）范围内的概率为（ ）
（附：若随机变量，则，）
A．0.0456B．0.1359C．0.2718D．0.3174
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的的特点和曲线所表示的意义代入数据计算可得.
【详解】由题意得，，所以，
故选：B
16．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则的取值范围是（ ）
A．B．)C．D．
【答案】D
【分析】设点A、B和直线AB，联立抛物线方程并消元，结合韦达定理和中点坐标公式得出，进而求出直线OM，代入抛物线方程得出，化简即可.
【详解】由题意知，设，直线，
代入得，有，
所以，所以
所以直线，代入得，
所以，
故选：D
三、解答题
17．（1）盒中有4个红球、5个黑球.随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率；
（2）已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，求的值，二项式系数最大的项.
【答案】（1）；（2）的值为6，二项式系数最大的项为
【分析】（1）合理设出事件，利用全概率公式进行求解；
（2）由已知得出二项式展开式的通项公式为，再由已知建立方程求得n，从而求得二项式系数最大的项.
【详解】（1）设第一次取出的球为黑球为事件A，第一次取出的球为红球为事件B，第二次取出的球是黑球为事件C，
则，，，，
由全概率公式可得：；
（2）二项式（）的展开式的通项公式为，
又展开式中的第2项与第3项的二项式系数之比是，
所以，即，解得，
所以二项式系数最大的项是，
所以的值为6，二项式系数最大的项为.
18．如图，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为.过点的直线与抛物线交于、两点.
(1)若点在第一象限，且，求直线的倾斜角；
(2)若点在以线段为直径的圆周上，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解设相应点的坐标，根据抛物线的性质，得出，进而求出结果.
（2）解设点的坐标，联立方程得，利用韦达定理表示出，即可求解.
【详解】（1）由题知，，，
设过直线为，，
因为，所以，
得，，，
所以直线即的斜率为，
则直线的倾斜角为.
（2）设，
直线方程为，
联立得，
则，，
，
，
因为点在以线段为直径的圆周上，
所以
，
即，得，
故直线的方程为.
19．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2），由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值.
【详解】解：（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6，
∴线路段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支，
则其方程为；
∵线路段上任意一点到O的距离都相等，
∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆，
则其方程为；
∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6，
∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支，
则其方程为.
故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为；
（2）设，由，则，
由（1）得，，即.
则.
∴当时，.
则站点为时，站点G到景点Q的距离最近.
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题.
20．已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)当时，试求函数在上的最值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据导函数正负得出函数单调性计算求解；
（2）由题意，得恒成立，当时，即恒成立，令，求导并且判断单调性，即可得最小值，得参数的取值范围；当，时，恒成立，时，取，则显然不成立，再取交集即可；
（3）由（2）得，两边取对并且化简累加进而证明不等式.
【详解】（1）当时，，，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，
易知，则最大值．
（2）若对任意，不等式恒成立，即：恒成立
当时，恒成立．
令，则．
当，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以时，取最小值，所以．
当时，若时，恒成立；
若，取，则显然不满足，所以
综上，
（3）在（2）中，令可知对任意实数x都有，当时，取等号，
两边同量取对数得：，当时，取等号，故：(当时，取等号)，
所以：
则：
即：
【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
21．已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.
【解析】（1）根据条件求解出的值，再将点坐标代入椭圆方程，结合，求解出，则椭圆方程可求；
（2）设出点的坐标，求解出切线方程，根据在切线上求解出直线的方程，由此计算出横、纵截距，并证明为定值；
（3）假设存在，根据条件设出的坐标以及圆的方程，然后根据内切圆的定义列出关于点的坐标的方程，构造方程组求解出参数的值，则圆心的坐标可求.
【详解】（1）由题意得，.所以，
又点在椭圆上，所以 ，解，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知，，设点
则直线的方程为——①，直线的方程为——②，
把点的坐标代入①②得,所以直线的方程为
令，得，令，得.
所以，又点在圆上.
所以，，为定值；
（3）由椭圆的对称性，不妨设，由题意知，点在轴上，
设点，则圆的方程为
由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是，
设点是椭圆上任意一点，则，
当时，最小，所以——①
假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则——②
又点在椭圆上，所以——③
由①②③得或，
当时，，不合题意，舍去，且经验证，符合题意，
综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是.
【点睛】结论点睛：圆有关的切线方程的结论：
（1）已知圆的方程为，则圆上任意一点处的切线方程为；
（2）已知圆的方程为，则圆上任意一点处的切线方程为.