2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，集合M满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先写出集合,然后逐项验证即可

【详解】由题知,对比选项知，正确,错误

故选:

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的定义得，由虚部的定义即可求解.

【详解】由题意，化简得，则，所以复数的虚部为．

故选：B

3．下列函数中，最小值为2的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由基本不等式对选项一一判断即可得出答案.

【详解】当时，，故A错误；

，当且仅当，

时取等号，又，故B错误；

，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；

当时，sin x∈（0，1），，

当且仅当，即sin x＝1时取等号，

因为sin x∈（0，1），故D错误．

故选：C.

4．若tan α＝2，则的值为（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.

【详解】＝＝.

故选：.

【点睛】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.

5．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.

【详解】设长方体的外接球半径为，由题意可知：

，则：，

该长方体的外接球的表面积为.

本题选择B选项.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

6．如图，在梯形中，，，，若，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【分析】根据数量积的定义可得，进而可求，由数量积的运算律即可求解.

【详解】因为，所以，

所以．因为，，，

所以，化简得．

故．

故选：D

7．雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.

【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有种排法，

将剩余的11名队员全排列共有，

由分步乘法计数原理可得总的站法有，

故选:B.

8．已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则

C． D．

【答案】D

【分析】根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】因为，，设，

则，，

即有，

所以，故D正确，

由于，则，即，

所以，所以，故C错误，

根据，，

无法得到，故A错误，

由于，所以，

又，故无法得到，所以B错误，

故选：D

【点睛】思路点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.

二、多选题

9．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（    ）

A．变量之间呈现负相关关系 B．

C．可以预测，当时，约为 D．由表格数据知，该回归直线必过点

【答案】ACD

【解析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确.

【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；

对于B，，，

，解得：，B错误；

对于C，当时，，C正确；

对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.

故选：ACD.

10．已知函数，实数，满足，则（    ）

A． B．，，使得

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.

【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．

由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．

故选：CD．

11．已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ）．

A． B．

C．若，独立，则 D．若，互斥，则

【答案】BCD

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．

【详解】选项A中：，故选项A错误，选项B正确；

选项C中：，独立，则，则，故选项C正确；

选项D中：，互斥，则，根据条件概率公式，

故选项D正确，

故选：BCD

12．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（    ）

A．MB是定值

B．点M在圆上运动

C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C

D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE

【答案】ABD

【分析】取CD的中点N，先证平面MBN∥平面A1DE，再得MB∥平面A1DE；根据余弦定理计算BM为定值；再根据BM为定值，可得点M在圆上运动；若DE⊥A1C，根据条件推出DE⊥A1E,与题意矛盾

【详解】解：取DC的中点N，连接MN，NB，

则MN∥A1D，NB∥DE，

因为MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，

所以平面MNB∥平面A1DE，

因为MB⊂平面MNB，

所以MB∥平面A1DE，D正确；

∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，

根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，所以MB是定值，A正确；

因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；

在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE,即得DE⊥A1E,与∠DEA1为矛盾，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，C不正确.

故选： ABD.

三、填空题

13．曲线在点A（0，1）处的切线方程为          

【答案】

【详解】解：由题意得y′=ex，

∴在点A（0，1）处的切线的斜率k=e0=1，

∴所求的切线方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0，

14．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为          ．

【答案】

【分析】根据离心率以及双曲线中满足的数量关系即可求解.

【详解】，，即，，

双曲线方程为，渐近线方程为．

故答案为：

15．已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有个男生与个女生，乙队伍中有个男生与个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，表示所取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时，的值为          ．

【答案】10

【分析】的可能取值为0，1，2，分别计算出其对应概率，利用方差公式结合基本不等式即可得到答案.

【详解】的可能取值为0，1，2，

则，

，

，所以的分布列为

，

，当且仅当时，等号成立，所以当取到最大值时，的值为10．

故答案为：10.

四、双空题

16．已知，满足，，当时，．已知，则函数，的零点个数为          ，这些零点的和为          ．

【答案】     13     26

【分析】分析函数的周期性和对称性，化简函数并求出其周期和对称中心，把问题转化为两个函数图象交点个数及交点的横坐标和求解.

【详解】函数，满足，即，函数是以4为周期的周期函数，

当时，，则，，

即函数的图象关于点对称，而

因此函数，的图象关于点对称，

函数的周期，，

点是的图象的一个对称中心，因此的图象关于点对称，

于是点是函数，与函数的图象的对称中心，

由，得，因此函数的零点即为函数，与函数的图象交点横坐标，

作出函数，在区间的图象，如图，

观察图象知，函数，在区间上有3个公共点，公共点的横坐标和为，

于是函数，在区间上有3个公共点，公共点的横坐标和为，

函数，在区间上有3个公共点，公共点的横坐标和为，

因为，则，又，

所以函数在区间上共有个零点，

它们的和为.

故答案为：13；26

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

五、解答题

17．已知等差数列中，，且前10项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】(1)an＝2n－1(2)Tn＝

【分析】(1)本题首先可以对化简得到，再对化简得到，最后两式联立，解出的值，得出结果；

(2)可通过裂项相消法化简求出结果．

【详解】(1)由已知得，

解得

所以的通项公式为

(2)，

所以数列的前项和．

【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．

18．如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．

(1)求证：；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而，则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论；

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）证明：连接，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，

又平面，所以，

又，，，平面，所以平面，

又平面，则，

因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，

所以，

因为，，平面，所以平面，

又平面，则．

（2）因为直三棱柱中，，

所以两两垂直，

所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面的一个法向量为，则，

令可得．

设与平面所成角为，

所以，

即与平面成角的正弦值为．

19．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图．

（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【答案】（1）,众数约为20，平均值为24.6（2）分布列见解析

【详解】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算出,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（Ⅱ）的可能取值为、、、，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，因此有，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望．

试题解析：（Ⅰ）由题意，得，

解得；

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）

而个样本小球重量的平均值为：（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为

则.的可能取值为、、、，

，，

，.

的分布列为：

.（或者）

【解析】频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望．

20．（1）已知，，分别为三个内角，，的对边．请用向量方法证明等式；

（2）若三个正数，，满足，证明：以，，为长度的三边可以构成三角形．

【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．

【分析】（1）根据，由向量的模长公式即可求解，

（2）根据余弦定理以及三角函数的有界性，可得，即可得三边满足的关系求证.

【详解】因为，

则，

即．

（2）因为，

所以，即，

则即

所以，，为长度的三边可以构成三角形．

21．已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

(1)求点到抛物线焦点的距离；

(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；

【分析】（1）点代入抛物线中求得抛物线方程，从而找到点到抛物线焦点的距离.

（2）可利用直角三角形的性质，斜边中线的长度等于斜边的一半，转换为圆锥曲线的弦长问题；

【详解】（1）将点代入抛物线方程，则，

抛物线焦点，

则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离．

（2）存在，证明如下：

如图，设，．

把代入得，，

由根与系数的关系得，．

，点的坐标为．

假设存在实数，使，则．

又是的中点，．

由（1）知，

．

轴，，

又

．

，

两边同时平方得：，

解得，即存在，使．

22．已知函数．

(1)证明；

(2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，求得并化简得到，得出函数的单调区间，结合，即可可证；

（2）根据题意把不等式转化为，根据为增函数，转化为恒成立，令，求得，得出函数的单调区间和最大值，即可求解.

【详解】（1）由函数，可得，

令，可得；

令，可得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，即．

（2）由不等式，可得，

因为为增函数，则，即在恒成立，

令，可得，

再令，可得，所以单调递减，

又因为，

所以当时，，，函数在上单调递增；

当时，，，函数在上单调递减，

即在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以最大值为，所以实数的取值范围为．

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．