2021-2022学年甘肃省临夏回族自治州高二下学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年甘肃省临夏回族自治州高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义直接求解.

【详解】由，得．

故选：B

2．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线斜率求倾斜角即可.

【详解】直线中，斜率，而斜率，，

又，.

故选：C

3．已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为（       ）

A． B．545 C． D．

【答案】C

【分析】将代入回归方程即可求解

【详解】因为施肥量与玉米产量之间的回归方程为，

则当施肥量时，，

故选：C

4．若为第二象限角，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角关系，对所给等式两边平方，逆用二倍角的正弦公式，可解得答案.

【详解】因为，

两边平方得, ，

所以，，

所以，．

故选：D.

5．若圆心为的圆的方程为，圆心为的圆的方程为，则两圆的圆心距等于（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】写出圆的标准方程，得到两圆圆心坐标，再由两点间距离公式可求．

【详解】圆心为的圆的标准方程为，

圆心为的圆的标准方程为，

所以两圆圆心分别为，

所以圆心距．

故选：B

6．函数的最小正周期为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由周期求出，从而可求出，进而可求出.

【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，

得，

所以．

故选：A

7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（       ）

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】B

【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.

【详解】由，满足条件，则，，满足条件；

，满足条件；，，不满足条件，

故输出．可填“？”．

故选: B.

8．已知，则下列不等式正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可．

【详解】方法一：因为，可知，所以，

所以，，所以，，，

所以A正确，B，C错误．

因为，所以，所以D错误，

故选：A

方法二；因为，设，，

所以，，，所以，,,,

所以A正确，B，C，D错误,

故选：A

9．设为定义在上的奇函数，且当时，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合奇函数的定义可得，代入已知函数解析式即可．

【详解】解：因为为定义在上的奇函数，所以，令，可得，即，

又当时，，

所以，所以．

故选：D

10．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】画出可行域可得答案.

【详解】画出可行域如图所示：

由几何意义知，过时取最大值，

由得，所以．

故选：D.

11．如图，长方体中，，那么异面直线与所成角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为，设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值．

【详解】解：连接，，

因为且，所以四边形为平行四边形，所以，

所以异面直线与所成角即为与所成角即，

设，由，，所以，，

所以 ，，，

在中，由余弦定理得，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

故选：C

12．已知，，，，为各项都大于零的等比数列，公比，则（       ）

A．

B．

C．

D．与的大小关系不能由已知条件确定

【答案】A

【分析】作差化简得，然后分，两种情况讨论差的正负即可得答案.

【详解】解：，

因为，，，

所以若，则，，

所以，所以；

若，则，，

所以，

所以．

综上，恒有．

故选：A.

二、填空题

13．已知等差数列的前项和为．若，则等于__________．

【答案】

【分析】若为等差数列的前项和，则成等差数列，利用这一性质，可快速得到答案.

【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，

所以，解得．

故答案为：42.

14．已知、为正数，，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】由题得，展开利用基本不等式即可求出.

【详解】、为正数，，

，

当且仅当，即时等号成立，

的最小值为.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

15．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且满足，则______（写出满足条件的一种表示即可）．

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【分析】根据得到向量满足的条件，即可写出．

【详解】由题意得，，

由于，所以有，

取，，得，（答案不唯一）．

故答案为：

16．在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的表面积为______．

【答案】

【分析】根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径，再利用球的表面积公式即可求解．

【详解】如图所示，

平面ABC，，，由勾股定理得，，

又，得，则．

设外接球的半径为，则，解得，

所以外接球的表面积为．

故答案为：

三、解答题

17．已知等差数列．请你在①，②中选择一个求解：

①若；②若，前3项和．

注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，根据等差数列的通项公式，列出方程求出即可.

若选②，由等差数列的求和公式，求出公差，从而得到通项公式；

（2）由（1）中结论，得到通项公式，再由等比数列的求和公式求解即可.

【详解】(1)选择①：

设数列的公差为d，

因为等差数列满足，，

得，解得，

所以；

选择②：

设数列的公差为d，

因为等差数列满足，，

得，，

解得，

所以；

(2)由（1）可得，

因为，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

所以

．

18．已知函数.

(1)判断的奇偶性，并说明理由；

(2)求满足的的取值范围.

【答案】(1)为奇函数，理由见解析；(2).

【解析】（1）直接利用函数的奇偶性的定义分析判断函数的奇偶性；（2）解不等式即得解.

【详解】(1)的定义域为，关于原点对称，

∵，∴为奇函数.

(2)，即，∴，∴，

又因为函数的定义域为，

所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，考查对数函数的单调性的应用和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．如图，直三棱柱中，是侧棱的中点，，．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】第（1）中，先证明线面垂直，再证明面面垂直;

第（2）中, 通过三棱锥的体积等于三棱锥的体积,即可求解.

【详解】(1)因为三棱柱为直三棱柱，

所以平面，又因为平面，

所以，又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面；

(2)因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

由（1）知为三棱锥的高，

，

，

所以.

20．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且．

(1)求角B；

(2)求边长b的最小值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）将已知条件利用正弦定理角化边可得，从而再利用余弦定理即可求解；

（2）由三角形的面积公式可得，结合（1）问可得，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】(1)解：因为，

所以由正弦定理得，

由余弦定理得，

又，所以；

(2)解：由，得，

又由（1）知，，当且仅当时等号成立，

所以，解得，

所以边长b的最小值为6．

21．京兰高铁线路全长约1700公里，是沟通华北､西北的最快捷高速铁路．现甘肃省交通部门随机抽取了某日出行人群中的200名旅客，对其出行乘坐意愿进行调查统计，得到如下统计图．

(1)请根据统计图估计抽取200名旅客的平均年龄；

(2)为提升服务质量，交通部门从这200名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取6人参加座谈会，再从选出的6人中抽2人作为主题发言人，求抽到的2人中恰有1人为40岁及以上的概率．

【答案】(1)岁

(2)

【分析】（1）由区间中值代替每组的平均年龄，直接代入加权平均数公式即可求解；

（2）首先根据分层抽样得到每个年龄段抽样的人数，再根据古典概型可得所求概率．

【详解】(1)由已知人；人；[40，48），40人；

[48，56），35人；[56，64]，25人，

所以平均年龄（岁），

即抽取的200名旅客的平均年龄为岁．

(2)采用分层抽样的方法，则从“40岁以下”的人中抽取3人，分别记为，

从“40岁及以上”的人中抽取3人，分别记为，

则基本事件为

，，共15个，

符合条件的有，共9种，

故抽到的2人中恰有1人为40岁及以上的概率为．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求和的普通方程；

(2)设点和交于两点，求．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程．

（2）判断点在直线上，建立直线参数方程，代入圆的方程，利用根与系数的关系以及直线参数方程的几何意义得到答案．

【详解】(1)由消去参数得，

即的普通方程为，

由，得

由得，化简得，

即直线的普通方程为；

(2)由（1）知，点在直线上，

可设直线的参数方程为即（为参数），

代入并化简，得

设两点对应的参数分别为，则，

所以．