2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，所以.

故选：C.

2．命题“”的否定是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：C

3．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.

【详解】因为在上单调递增，

所以由复合函数的单调性可知，，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

4．若，且，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】应用换元法求函数解析式即可.

【详解】因为,,则

设即

则,即

所以

故选:.

5．幂函数在R上单调递增，则函数的图象过定点（    ）

A．（1，1） B．（1，2） C．（-3，1） D．（-3，2）

【答案】D

【分析】由函数为幂函数且在R上单调递增，可得，再由指数函数过定点，即可得函数所过的定点.

【详解】解：因为为幂函数且在R上单调递增，

所以，解得，

所以，

又因为指数函数恒过定点，

所以恒过定点.

故选：D.

6．设为正实数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.

【详解】因为为正实数，且，

所以，

所以，

当且仅当，即，即时等号成立.

所以的最小值为.

故选：C.

7．已知函数是定义在的奇函数，满足，当时，，则（    ）

A． B．0 C． D．2019

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质求出，再根据已知条件得出是以4为周期的函数，即可求出.

【详解】因为是定义在的奇函数，且当时，，

所以，解得，

又，则，

所以，所以是以4为周期的函数，

所以.

故选：A.

8．已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果.

【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；

时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；

作出在上的图象，如图：

由图可知要使有3个不同的实根，则.

故选：D.

二、多选题

9．给出下列命题，其中是错误命题的是（    ）

A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].

B．函数的单调递减区间是

C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.

D．、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数.

【答案】ABC

【分析】对于A，由于的定义域为[0，2]，则由可求出的定义域；对于B，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C，举反例可判断；对于D，利用单调性的定义判断即可

【详解】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误；

对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误；

对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，

所以C错误；

对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，

故选：ABC

10．下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】由可判断A；由基本不等式可判断B、C、D.

【详解】当时，，故A错误；

当时，，则，故B错误；

当，时，，，相加可得，故C正确；

当，时，，故D正确.

故选：CD.

11．已知函数，则（   ）

A．当时，的定义域为R

B．一定存在最小值

C．的图象关于直线对称

D．当时，的值域为R

【答案】AC

【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.

【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，

即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；

对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；

对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，

将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，

此时对称轴为直线，故C正确；

对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.

故选：AC

12．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】构造函数，由其单调性得出，进而由指数和对数函数的单调性判断即可.

【详解】不等式可化为.

构造函数，易知函数在上单调递减.

由可知，.

因为，所以，.

故选：BC

三、填空题

13．函数的值域为           

【答案】

【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数,由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.

【详解】设,则,

所以原函数可化为:,

由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.

所以值域为:.

故答案为:.

14．已知是定义域为的奇函数，且时，，当时，的解析式为          .

【答案】

【分析】设，则，所以，再利用函数奇偶性代换得到答案.

【详解】设，则，所以.

是奇函数，所以，

因此当时，.

故答案为：

15．已知函数，的最大值为，最小值为，则      .

【答案】

【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.

【详解】令，且，

，

所以为奇函数，且在上连续，

根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，

则，故.

故答案为：

16．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是             .

【答案】

【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围.

【详解】函数是上的增函数，

所以，

解得.

故答案为：

四、解答题

17．已知不等式的解集为或（其中）．

(1)求实数，的值；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.

【详解】（1）由题意可得的解集为或，

则且1和为方程的两个根．

则，解得．

（2）不等式化为，

转化为，即

所以，解集为．

18．已知函数且．

求函数的定义域；

若函数的最小值为，求实数a的值．

【答案】 定义域为；．

【分析】由对数式的真数大于0联立不等式组求解；利用导数的运算性质化简函数，结合的最小值为可得，由此求得a值．

【详解】解：要使函数有意义，必有，得．定义域为；，，，即，解得或．又且，

．

【点睛】本题考查对数型函数的定义域及其值域的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是基础题．

19．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.

（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解.

【详解】（1）当时，，，

，所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2），

当，令得，由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

当，令得，

当时，由得或，由得，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；

当时，由得或，由得，

所以的单调增区间为和，单调递减区间为.

20．已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点．

(1)求函数的解析式；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设(，且)，再代入求解可得，再根据奇函数满足求解即可；

（2）根据函数的单调性与奇偶性可将不等式转化为对任意的，恒成立，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.

【详解】（1）设(，且)，则，所以 (舍去)或，

所以，．

又为奇函数，且定义域为R，

所以，即，所以，所以．

（2）设，则．

因为，所以，所以，

所以，即，所以函数在R上单调递减．

要使对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立．

因为为奇函数，所以恒成立．

又因为函数在R上单调递减，

所以对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立．

令，，二次函数对称轴为.

时，成立；

时，所以，．

，，无解．

综上，．

21．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元．

(1)求k的值；

(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．

【答案】(1)

(2)选择②，，（，）

(3)121元

【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；

（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；

（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.

【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，

所以，解得；

（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，

故只能选②:

代入数据可得：，解得，，

所以，（，）

（3）由（2）可得，，

所以，，

所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，有最小值，且为121；

当，时，为单调递减函数，

所以当时，有最小值，且为124，

综上，当时，有最小值，且为121元，

所以该商品的日销售收入最小值为121元．

22．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)当，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在单调递增单调递减

(2)

【分析】（1）求导之后，根据导数的符号即可求得的单调区间（2）对恒成立的不等式恒等变形后，利用切线不等式放缩求得必要条件，再证明也是充分条件，即得所求

【详解】（1）  

当时，；当时，

所以在单调递增，在单调递减．

（2）设，

则，

且当时，；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以，所以

所以

由得

即   ①         

由得，等号当成立．    

设，则，所以在上单调递增

又，

所以有唯一零点，记为

所以是的根，将代入①式得

当时，显然成立．       

综上：

故的取值范围为