2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期月考数学试题（普通班）含解析

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期月考数学试题（普通班）

一、单选题

1．等差数列中，，求（    ）

A．45 B．15 C．18 D．36

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果

【详解】因为是等差数列，所以，解得，

所以，

故选：D

2．若名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，则不同的报名方式有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】分析可知每个人都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，

每个人都有种选择，则不同的报名方式种数为种.

故选：D.

3．若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】直接代入二项式展开式的通项公式，令的指数为3即可求解.

【详解】依题意，

的展开式的通项公式：，令r＝3，

则的系数是，解得a＝2．

故选：B．

4．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是

A．在区间内，是增函数

B．在内，是减函数

C．在内，是增函数

D．在时，取到极小值

【答案】C

【分析】根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.

【详解】解：由图象知当x＜2或x＞4时，，函数为增函数，

当或2＜x＜4时，，函数为减函数，

则当x或x＝4函数取得极小值，在x＝2时函数取得极大值，

故ABD错误，正确的是C，

故选：C.

【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.

5．已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分布列的性质计算可得的值，再算即可

【详解】由分布列性质可知：，即

故

故选：B

6．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为

A． B． C． D．不确定

【答案】A

【分析】直接利用条件概率公式计算出该事件的概率．

【详解】记事件A：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，

记事件B：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，

则事件B|A：某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病，

则B⊂A，AB＝A∩B＝B，

P（A）＝1﹣0.02＝0.98，P（B）＝1﹣0.16＝0.84，

因此，P（B|A），

故选A．

【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.

7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ）

A．480种 B．336种 C．144种 D．96种

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”相邻的不同次序数即可计算作答.

【详解】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：，

“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：，

所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：.

故选：B

8．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解.

【详解】因为，所以.

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，即，即可

令，则

由函数单调性的性质知，在上减函数，

，即.

所以实数的取值范围为。

故选：A.

二、多选题

9．下列式子正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可.

【详解】A选项，，故，A正确；

B选项，，故，B正确；

C选项，，故，C错误；

D选项，，，

故，D正确.

故选：ABD

10．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是（    ）

A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5

C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为

【答案】AC

【分析】求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，即得.

【详解】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的为N，

任取3个球的所有可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球．

M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，所以选项A正确；

又，

，

，

所以X最有可能的取值是4，

所以选项B，D错误，选项C正确．

故选：AC．

11．关于的展开式，下列结论正确的是（    ）

A．各项二项式系数之和为32 B．各项系数之和为

C．存在常数项 D．项的系数为80

【答案】ABD

【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断A；取求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由的指数为3和0求得值，可判断CD．

【详解】的展开式的所有二项式系数和为，故A正确；

取，可得所有项的系数和为，故B正确；

展开式的通项为，

由，得舍去，故不存在常数项，C错误，

由，得，含项的系数为，故D正确．

故选：ABD．

12．已知．则下列说法正确的有（    ）

A．函数有唯一零点

B．函数的单调递减区间为

C．函数有极大值

D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是

【答案】ACD

【分析】根据零点的定义判断A，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断其余选项.

【详解】由得：，即，故函数有唯一零点

由题可知：

设，，则，

由得：；由得；；

故在上单调递增﹐在上单调递减，

作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：

观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错，

函数在时有极大值，C对，

方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，

故选：ACD.

三、填空题

13．已知等比数列，，则____.

【答案】

【分析】直接利用等比数列的通项公式列方程求解．

【详解】由等比数列的通项公式得，

即，

解得．

故答案为：．

14．的展开式中含项的系数为________．

【答案】

【分析】根据二项展开式的通项计算特定项系数.

【详解】展开式的通项为，

所以的通项为，

令，即，

所以含项的系数为，

故答案为：.

15．市面上某类饮料共有3种品牌A、B、C在售，且均为有奖销售.已知3种品牌A、B、C的市场占有率分别为60%、30%、10%，且3种品牌每瓶的中奖率分别为10%、20%、30%.现从市场上任意购买一瓶，则该瓶饮料中奖的概率为______.

【答案】0.15##

【分析】用分别表示A、B、C品牌的饮料，M表示任意购买一瓶饮料中奖，再利用全概率公式求解作答.

【详解】用分别表示A、B、C品牌的饮料，M表示任意购买一瓶饮料中奖，

则，且两两互斥，

依题意，，，

由全概率公式得：，

所以该瓶饮料中奖的概率为0.15.

故答案为：0.15

16．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可

【详解】设

,又有成立，

函数，即是上的增函数．

，，即,

，

故答案为：．

四、解答题

17．有男运动员4名、女运动员3名.

(1)现7名运动员排成一排，如果女运动员全排在一起，有多少种排法？

(2)现将男运动员派去两个不同场馆去训练，要求每个场馆至少有一名运动员去，每名运动员去一个场馆，则有多少种不同的分配方法.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用捆绑法求解；

（2）分一个场馆1人，一个场馆3人和两个场馆都2人两种情况分别求解.

【详解】（1）（1）现7名运动员排成一排，如果女运动员全排在一起，

则利用捆绑法可得有种排法；

（2）当一个场馆1人，一个场馆3人时，有种分配方法；

当两个场馆都2人时，有种分配方法；

所以每个场馆至少有一名运动员去时有种分配方法.

18．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；

(2)利用裂项相消求和.

【详解】（1）因为，所以，

又因为，，成等比数列，所以，

即，所以，

联立解得，

所以.

（2）由（1）可得，

所以.

19．已知．

(1)求；

(2)求；

(3)求．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）令可得答案；

（2）令可得答案；

（3）先将等式两边同时求导，然后令可得答案.

【详解】（1），

令得；

（2）令得，

；

（3）对两边同时求导可得

，

令得.

20．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．

（Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，1.

【分析】（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可．

（Ⅱ）由题意可知；求出概率可得到的分布列，再由期望公式即可求得期望．

【详解】（Ⅰ）根据古典概型概率求法，可设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则选中2道“生态环保题”，

则，

（Ⅱ）由题意可知；

则，

，

，

所以的分布列为：

故的期望．

【点睛】本题考查古典概型概率求法，离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，属于基础题．

21．已知各项均不为零的数列满足，且.

(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；

(2)令为数列的前项和，求.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）构造得解决即可；

（2）由（1）得，错位相减解决即可.

【详解】（1）由，

得，

又，

是首项为5，公差为3的等差数列.

，故.

（2）由（1）知，

所以①

②，

①-②得：

，

.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求出，对分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;

（2）由题意将问题转化为有两个不同的实根，构造，判断的单调性；要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根；构造，对分类讨论判断的单调性，判断的零点，得出的取值范围.

【详解】（1），，.

①当，，函数在上单调递增；

②当，令，得，

时，；时，，

在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当，的单调递增区间为，的单调递减区间为.

（2）根据题意可知：方程，即有两个不同的实根.

由可得：.

令，当时，，

时，，，所以在上单调递增，

要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根.

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

.

①若，则，没有零点；

②若，则，当且仅当时取等号，只有一个零点；

③若，则，，.

令，则当时，，即在上单调递增，

所以，即.

故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.

综上可知，实数的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：解决第（2）问问题时，通过变形，把等式两边化为同一形式，再结合复合函数的性质简化问题.