北京市东直门中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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2023.4
考试时间：120分钟 总分：150分
第一部分（选择题，共40分）
一、单选题（本大题共10小题，共40．0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数公式判定即可.
详解】解：根据导数公式有，A正确，，B错误，
，C错误，，D错误.
故选：A.
2. （ ）
A 12B. 14C. 15D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由二项式系数性质计算．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题考查二项式系数的性质．掌握二项式系数性质是解题关键．
二项式系数性质：．
3. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
4. 已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意，得解得或 (舍去)，故选C.
5. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有
A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种
【答案】C
【解析】
【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解.
【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况.
若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况.
所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有
故选C.
【点睛】本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题.
6. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：D.
7. 已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）
A. 0.012 45B. 0.057 86C. 0.026 25D. 0.028 65
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.
8. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A. 48B. 72C. 90D. 96
【答案】D
【解析】
【详解】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
故答案为96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
9. 从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式可得解.
【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，
所以，，
由条件概率可得：，
故选D.
【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.
10. 对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先对函数求导，判断函数单调性，求出函数最小值，进而可求出结果.
【详解】因为，所以，
由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
则，
即恒成立，因此函数的下确界为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的最值，通常需要对函数求导，通过研究函数单调性来确定最值，属于常考题型.
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 在的二项展开式中，所有二项式系数的和是________.（用数值作答）
【答案】32
【解析】
【分析】由二项式系数定义可得答案.
【详解】在的二项展开式中，
二项式系数的和为.
故答案为：32.
12. 2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有____________种不同的排法．
【答案】360
【解析】
【分析】根据定序问题即可得出答案.
【详解】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，
∴共有种不同排法，
故答案为：360.
13. 能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是______________．
【答案】 或等，答案不唯一
【解析】
【分析】根据极值点的定义求解.
【详解】极值点的导数必需为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.
函数，当时，，
但是在上单调递增，
所以不是函数的极值点.
【点睛】本题考查极值点的定义，考查命题真假的判断，属于基础题
14. 一批产品的废品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取10件，X表示抽到废品的件数，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由，利用二项分布期望和方差公式直接求解即可.
【详解】由题意知：，，，
则
故答案为：
15. 直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
【答案】(－2,2)
【解析】
【详解】试题分析：结合函数图象，a介于f(x)的极大值和极小值之间．
因为，＝x3－3x ，所以，f’(x)=3x²－3,令f'(x)=0，得：x=－1，x=1
f(－1)=2，f(1)=－2
所以，－2考点：数形结合思想，转化与化归思想，利用导数研究函数的极值．
点评：简单题，利用数形结合法，将问题转化成利用导数研究函数的极值．
16. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”,有下列函数：① ；②； ③； ④.其中只有一个“新不动点”的函数是________.
【答案】②③
【解析】
【分析】根据“新不动点”的定义，对每个函数进行求导，令，求解出根的个数，即可确定只有一个“新不动点”的函数.
【详解】①，则
令，解得：，，可知有个“新不动点”，不合题意
②，则
令，解得：，可知有个“新不动点”，符合题意
③，则
令，则
在上单调递增，又，
在存在唯一零点，
即有唯一解，可知有个“新不动点”，符合题意
④，则
令，即，即：
周期为 根有无数个
可知有无数个“新不动点”，不合题意
本题正确结果：②③
【点睛】本题考查新定义问题的求解、方程根的个数的判断，涉及到二次函数、指数函数、对数函数和三角函数的应用问题.
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设函数．
（1）求f（x）在处的切线方程；
（2）求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2）最大值是13，最小值是－19.
【解析】
【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；
（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.
【小问1详解】
由题意知，，即切点为（1，－3），
又，所以
所以f（x）在处的切线方程为：，即；
【小问2详解】
，
令得；令得或，
故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，
函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，
又，
∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19
18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．

（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求直线CP与平面ACE所成角正弦值；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判断，转化为证明线线平行，即可证明；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求线面角的正弦值.
【小问1详解】
连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
如图，以点为原点，以分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的法向量为，
设直线CP与平面ACE所成角为，
所以.

19. 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.
（1）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；
（2）从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：
（3）在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）
【解析】
【分析】（1）由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，进而可得结果；
（2）得出的所有取值，分别计算其概率，即可得分布列和期望；
（3）结合方差的意义可得结果.
【小问1详解】
设这个区域降雨量在135毫米以上为事件，
区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以
答：这个区域降雨量在135毫米以上的概率为
【小问2详解】
由题意分析可知
，
，
随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为：.
【小问3详解】
.
20. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程，
（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系，再结合中点坐标公式表示出的中点的坐标，由，从而可得，进而可求出的值
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为.
由题意得
解得.
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由得.
由，解得.
设，，则.
设线段的中点为，
则，.
“”等价于“”.
所以.
解得，符合题意.
所以.
21. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）只有极大值，无极小值；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）把代入，求导，求出极值点，结合单调性可得极值；
（Ⅱ）先求导数，对讨论，结合单调性和零点个数可得a的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）当时，，．
由，得．
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
只有极大值，无极小值，且．
（Ⅱ）．
当时，，
函数在上单调递增，
从而至多有一个零点，不符合题意．
当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
由得．
由得．
当时，，满足在上有两个不同的零点．
的取值范围是．
22. 已知{an}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，最小值记为Bn，令．
（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），写出b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）证明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{bn}是等比数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，an+2，…是等比数列．
【答案】（Ⅰ）b1＝1，b2＝2，b3＝3；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意an＝2n，可得An＝2n，Bn＝2，进而求出n，从而可求出结果；
（Ⅱ）由题意知An+1≥An＞0，0＜Bn+1≤Bn，所以An+1Bn≥AnBn+1，化简整理即可求出结果；
（Ⅲ）证明：由题意知，及bn+1≥bn，通过分类讨论，利用等比数列的意义，反证法即可证出结论.
【详解】解：（Ⅰ）∵an＝2n，∴An＝2n，Bn＝2，
∴n．
b1＝1，b2＝2，b3＝3．
（Ⅱ）证明：由题意知An+1≥An＞0，0＜Bn+1≤Bn，
所以An+1Bn≥AnBn+1．
所以，即bn+1≥bn．
（Ⅲ）证明：由题意知，及bn+1≥bn，
①当bn+1＝bn时，得bn＝1，即．
所以An＝Bn．
所以an＝a1．
即{an}为公比等于1的等比数列．
②当bn+1＞bn时，令at＝min{a1，a2，…，an，…}，则Bm＝at（m≥t）．
当n≥t时，显然An+1＞An．
若an+1≤An，则An+1＝An，与An+1＞An矛盾，
所以an+1＞An≥an，即An+1＝an+1．
取n0＝t+1，当n≥n0时，，显然an，an+1，an+2，…是等比数列．
综上，存在正整数n0，使得n≥n0时，an，an+1，an+2，…是等比数列．
北京密云
山东乐陵
河北迁西
山东庆云
北京怀柔
河北海兴
河北唐山
天津渤海A平台
河北丰南
山东长清
180毫米
175毫米
144毫米
144毫米
143毫米
140毫米
130毫米
127毫米
126毫米
126毫米