2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期中校际联考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期中校际联考数学试题

一、单选题

1．已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.

【解析】向量运算及相关概念.

2．已知，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角差的正弦公式可求得结果.

【详解】因为，

所以，

所以，，

所以，

所以

，

所以，解得，

故选：D

3．在中，分别是内角所对的边，若，则边（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】先根据正弦定理算出，从而得到，继续用正弦定理求.

【详解】依题意，由正弦定理：得,解得，故或，经检验均符合题意.

当时，则，由正弦定理，得，解得；

当时，则，此时为等腰三角形满足.

综上，或.

故选：D

4．已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得，分子分母同时除以，代入即可得出答案.

【详解】

故选：C.

5．已知，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由可得，

则，即得，故，

则，

故，

由于，故，

故选：C.

6．在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形

C．等边三角形 D．以上结论均不正确

【答案】C

【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.

【详解】由于，所以为锐角，

由余弦定理得，则为锐角.

由以及余弦定理得，

，由于，所以，即，

所以，所以三角形是等边三角形.

故选：C

7．函数的最大值与最小值的和为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】化简，得，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.

【详解】

因为，所以，

所以，即，

所以当，即时，，

当，即时，，

所以.

故选：B

8．如图，梯形顶点在以为直径的半圆上，米，若电热丝由三条线段这三部分组成，在上每米可辐射单位热量，在上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，的长度为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆的对称性和余弦定理以及倍角公式化简即可求解.

【详解】

取中点，

连接，连接，

根据圆的对称性知，

设，，

则有，，

由余弦定理得

同理

所以

同理

电热丝辐射的总热量为，

令，

所以，

即，

令，

则是关于的二次函数，

当电热丝辐射的总热量最大时，，

即，

此时.

故选：B.

二、多选题

9．下列等式成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，

，D错误.

故选：AC

10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点是边的三等分

C．若，则点是边的重心

D．若，且，则的面积是面积的

【答案】AC

【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.

【详解】对于A，由，得，即，

因此点M是边BC的中点，故A正确；

对于B，，，

则点在边的延长线上，所以B不正确；

对于C，设中点，则,，

由重心性质可知C正确；

对于D，且’

设，所以，可知三点共线，

所以的面积是面积的，故D不正确.

故选：AC.

11．下列说法正确的有（    ）

A．，，使 B．，，有

C．，，使 D．，，有

【答案】ABC

【分析】根据取特值法，易知A， C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B正确．

【详解】取，易知A正确D错误；取，，C正确；

因为

，故B正确，

故选：ABC．

【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．

12．在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（    ）

A．若是高，则 B．若是中线，则

C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点

【答案】BC

【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.

【详解】由题，，所以，

若CD是高，，得，故A错误；

若CD是中线，，所以，

所以，故B正确；

若CD是角平分线，则，

即，得，故C正确；

若D为线段AB的三等分点，或，

，或，

所以或，故D错误.

故选：BC.

【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.

三、填空题

13．已知，，则_________.

【答案】

【分析】利用平面向量的坐标运算法则计算即可.

【详解】解：已知，，

则，，

所以，

故答案为：.

14．设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B．则a的值为_______

【答案】2

【详解】在中，

可得

整理得，∴由余弦定理可得 ，

故答案为2.

15．已知，在直角三角形中，，，则实数的值是________.

【答案】或

【分析】先求出.然后分为为直角，为直角，为直角，三种情况，分别根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出的值，舍去不满足的值，即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

若为直角，则有，解得，舍去；

若为直角，则有，解得；

若为直角，则有，解得（舍去负值），所以.

综上所述，或.

故答案为：或.

四、双空题

16．已知，且是方程的两根，则的值是___________；的值是________.

【答案】     /     /

【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可.

【详解】由题意，，

，

又，故，

故，.

由，

，

两式联立可得，，，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知都是锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；

（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．

【详解】（1）解：因为与都是锐角，

所以，，

又，

所以，，

所以，，

所以；

（2）因为，，，

所以，解得：(负值舍去).

18．从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且.

(1)求角的大小；

(2)若，且 ，求的值及的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由已知条件结合正弦定理可得, 再利用余弦定理可求出角 ；

(2) 若选①, 则可求出角, 再利用正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果.

【详解】（1）因为 ,

由正弦定理得 ,

即 ,

得 ,

又 ,

所以 .

（2）选择①时: ,

故,

根据正弦定理 ,

故 ,

故 .

若选②:

由 及正弦定理 ,

得 ,

解得 ,

所以 .

根据正弦定理 , 得 ,

故 .

19．如图，在矩形中，点在边上，，且.M是线段上一动点.

(1)M是线段的中点，求的值；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)30

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算结合数量积的运算律，即可求得答案.

（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，，利用，求得m的值，即可求得的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.

【详解】（1）因为，故，

所以

,

又在矩形中，,

故.

（2）如图，以A为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，

则，设,

则，

故由得，，即，

由于M点在上，设，

则，

则，即，故，

所以，

，

所以，

当且仅当时，取得最小值.

20．已知向量，，.

(1)求的值；

(2)若，，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出，求出，结合已知即可得出答案；

（2）先求出，然后根据正余弦关系求得，，进而根据两角的正余弦公式，求得以及的值.最后根据两角差的正弦公式，展开代入计算，即可得出答案.

【详解】（1）因为，

所以.

因为，所以，

所以.

（2）因为，，所以.

因为，，

所以，，

所以，

，

所以.

21．在中，分别是内角所对的边，若.

(1)求；

(2)若，且的面积，求的值；

(3)若，且，求的周长.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；

（2）由面积公式及余弦定理化简，解得，由数量积公式计算即可得解；

（3）根据三角恒等变换求出，再由两角差的余弦公式求出，再由余弦定理求即可得解.

【详解】（1）

，

，

.

（2）由，可得，

，

，

，

，解得，

，

.

（3），，

，

，

由知，,

，即，

由余弦定理，，解得，

，

即的周长为.

22．如图，四边形中，，三角形为正三角形.

(1)当时，设，求的值；

(2)设，则当为多少时.

①四边形的面积最大，最大值是多少？

②线段的长最大，最大值是多少？

【答案】(1)

(2)①；② 3

【分析】（1）过点作交于点,在中，，，，可求出的值；

（2）在中，由余弦定理可得，①表示出面积即可求得四边形的面积最大，②利用正弦定理、余弦定理，三角恒等变换求最值.

【详解】（1）在中，，

，，，，

过点作交于点,在中，，

，

，

.

（2）在中，由余弦定理可得，

，，

，因为，

，此时.

②由正弦定理得，即，

所以，所以 ，

，

由余弦定理得

，

因为，所以当时，取得最大值3.