湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高二上学期期末数学试题

雅礼教育集团2022年下学期期末考试试卷

高二数学

一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若直线l过点，不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（    ）

A．0 B．1 C． D．2

2．函数的一条对称轴方程是（    ）

A． B． C． D．

3．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在同一平面内以平行四边形两边为斜边向外作等腰直角，，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（    ）

A．540种 B．360种 C．180种 D．120种

6．双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，两曲线有一个公共点为P，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

7．函数的零点属于区间（    ）

A． B． C． D．

8．己知，若，则的最小值等于（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，则（    ）

A．z的虚部是 B．z的共轭复数是

C．z的模是 D．z在复平面内对应的点是

10．下列数列中，单调递增的数列是（    ）

A． B． C． D．

11．法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当时，笛卡尔叶形线具有的性质是（    ）

A．经过第三象限  B．关于直线对称

C．与直线有公共点 D．与直线没有公共点

12．过下列哪些点恰可以作函数的两条切线（    ）

A． B． C． D．

三、本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式的常数项是________．

14．圆与圆的公共弦长等于________．

15．如图，在正方体中，动点M在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是________．（用区间表示）

16．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线在点曲率的计算公式是，其中是的导函数．则曲线上点的曲率的最大值是________．

三、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题10分）

“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．

（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率和每周利用“学习强国”的平均时长；

（2）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．

18．（本题12分）

记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

19．（本题12分）

如图，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求A的大小；

（2）若内点P满足，求的大小．

20．（本题12分）

如图所示，在直三棱柱中，，E为的中点．

（1）直线与平面的交点记为M，直线与平面的交点记为N．证明：直线平面．

（2）求二面角的大小；

21．（本题12分）

设P，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20．

（1）求b的值；

（2）设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M．若是与的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程．

22．（本小题12分）

设函数，曲线在原点处的切线为x轴，

（1）求a的值；

（2）求方程的解；

（3）证明：．

高二数学期末考试答案

1．答案：D  解析：直线l的斜率的最大值．

2．解析：，对称轴方程是，取，知是一条对称轴．选C．

3．答案：B  解析：．

4．答案：B  解析：．

5．答案：B  解析：共有种．

6．解析：不妨设点P在第一象限，∵，∴P的坐标为．∵双曲线的焦点是，，根据双曲线的定义，∴．

答案：A．

7．答案C  解析：因为是增函数，，

，所以有唯一的零点．

8．解析：由题意得，所以．设P是直线上的点，是圆上的点，则，而．

答案：B．

9．答案：BCD

10．答案：BD

11．答案：BD  解析：A：若，则

B：若点在曲线上，则点也在曲线上．

C、D：由方程组得方程组无解．

13．答案：20

14．答案：  解析：易知点为两圆交点，．

15．答案：  解析：连结，由正方体的性质，知，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角，的最小值为与平面所成的角．设的交点为O，则为与平面所成的角．所以的最小值为．的最大值为．

16．答案：  解析：对于曲线，

，当且仅当时等号成立．

17．解：（1）由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在内的频率为，所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在内的概率为0.3．

由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，

所以，

所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长是6.8小时．

（2）由（1）知，利用“学习强国”时长在和的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，采用分层抽样的方法从组抽取5人，记作a，b，c，d，e；从组抽取2人数为，记作A，B；……

从7人中抽取2人的基本事件有，共21个，来自不同组的基本事件有，共10个，故所求概率．

另解：．

18．解：（1）因为，所以．

又因为是公差为的等差数列，所以，

所以．

当时，时，也满足上式．

所以的通项公式是．

（2）当时，，不等式成立；

当时，

．

19．解：（1）因为，

所以，

由余弦定理，得，

因为，所以．

（2）设，在和中分别应用正弦定理，得，，因为，

所以，又因为，所以，所以．

20．解：根据题意知，两两垂直，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为，E为的中点．所以．

（1）直线与的交点即为直线与平面的交点M，直线与的交点即为直线与平面的交点N，所以．

所以，所以，又平面平面，所以直线平面．

（2）设G为的中点，则，因为平面平面，且它们的交线是，所以平面，所以平面的一个法向量．

，设是平面的法向量，则，令，得，所以二面角的大小是．

21．解：（1）设，根据题意得，解得

（2）由中线长公式，

又因为，所以．

设，记，则，从而，，即，同理，

所以，带入①，得．

整理，得

由②得，因为，所以a的最小值为7，

此时，即直线l的斜率为．

又点在椭圆内，于是两条直线均满足要求．

综上，a的最小值是7，此时直线l的方程为或．

22．（1）

（2）由（1）知，方程即为，显然是的解，

设，则且只有，所以在上单调递增，所以方程方程有唯一的解．

（3）由（2）知，当时，，即，特别地，取，得

设，当时，，所以在区间上单调递减，当时，，即，特别地，取，得．