2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列函数中，导函数错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则（且）

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】利用基本函数的导数和求导法则，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果.

【详解】选项A，因为，根据基本函数的导数知，，故选项A正确，不合题意；

选项B，，所以，故选项B错误，

选项C，，根据基本函数的求导法则知，，故选项C正确，不合题意；

选项D，，根据基本函数的导数知，，故选项D正确，不合题意；

故选：B.

2．等差数列，0，，…前10项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列求和公式求解.

【详解】由题意，，，；

故选：C.

3．若1，，，，16成等比数列，则（    ）

A．64 B． C．16 D．

【答案】A

【分析】根据题意，设该等比数列的公比为，分析可得，变形可得的值，进而求出，以及，进而计算可得答案．

【详解】根据题意，若1，，，，16成等比数列，设其公比为，

则有，变形可得，则，

又由，则．

故选：A．

4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（    ）

A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺

【答案】D

【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．

【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，

则由题意可得，，，

则小满当日日影长．

故选：D．

5．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义判断

【详解】由图象可知在上单调递增

故，即

故选：B

6．关于函数，说法正确的是（    ）

A．无最小值，有最大值，有极大值

B．有最小值，极小值，无最大值

C．有最小值，有最大值，有极大值，也有极小值

D．无最小值，无最大值，但有极小值

【答案】D

【分析】求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点，在判断函数的取值情况，即可得解.

【详解】函数的定义域为，，

所以当时，当或时，

所以在上单调递增，在，上单调递减，

所以在处取得极小值，

当时，，且当时，且当时，

当时，且当时，，且当时，，

所以无最大值，最小值，有极小值，无极大值.

故选：D

7．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可知所选函数为偶函数，且在右侧附近单调递减，然后逐项分析各函数的奇偶性以及单调性，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】由图可知，所选函数为偶函数，且在右侧附近单调递减.

对于A选项，函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，，

当时，，

则函数在上单调递增，A不满足；

对于B选项，函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，，

当时，，

则函数在上单调递减，B满足；

对于C选项，函数的定义域为，

，令，则且不恒为零，

所以，在上单调递增，

当时，，则函数在上为增函数，C不满足；

对于D选项，函数的定义域为，

则，

所以，函数为奇函数，D不满足.

故选：B.

8．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，根据导函数的符号求解.

【详解】，由条件知当时，，即，

令，是减函数，；

故选：D.

二、多选题

9．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，单调递增

B．在区间上，单调递增

C．在区间上，单调递增

D．在区间上，单调递增

【答案】BC

【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案.

【详解】由题图知当时，，

所以在区间上，单调递增，BC正确；

当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.在上递增，A错误；

当时，，所以在区间上，单调递减，D错误；

故选：BC

10．已知等比数列的首项为3，公比为，，若243是该数列中的一项，则公比可能的值是（    ）

A．81 B． C．9 D．

【答案】ACD

【分析】根据题意，设243是该数列的第项，由等比数列的通项公式可得，变形可得，由于，分情况讨论的值，即可得答案．

【详解】根据题意，等比数列的首项为3，公比为，，

若243是该数列中的一项，设243是该数列的第项，

则，变形可得，

又由，当时，，当，，当，．

故选：ACD．

11．已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则（    ）

A．， B．

C．，的最大值为14 D．当时，有最大值

【答案】ACD

【分析】根据，，得出，再逐一对各个选项分析判断，即可求出结果.

【详解】因为，，故，故选项A正确；

选项B，因为，，又，即，故选项B错误；

选项C，因为，，又由，得到，所以，故选项C正确；

选项D，因为，，，故选项D正确.

故选：ACD.

12．已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列，记，，则（    ）

A．公比

B．若是递减数列，则

C．若不单调，则的最大项为

D．若不单调，则的最小项为

【答案】BC

【分析】由等差中项的性质即可判断A，由等比数列前项和即可判断B，由以及与的关系即可判断CD.

【详解】由，，成等差数列，

得，即，

，得，故A错误；

当时，数列不单调，当时，数列单调递减，

若是递减数列，则，故B正确；

若不单调，则，则，

，是关于的增函数，当时，有最大值为，则的最大项为，故C正确；

当时，有最小值为，则的最小项为，故D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有      个点.

【答案】57

【分析】根据题意，首先观察题目所给的五个图像，找出每个图形之间有什么联系，然后通过每个图形之间的联系得出通项公式，得出结论．

【详解】根据题意，图（1）中只有1个点，无分支；

图（2）除中间一个点外，有两个分支，每个分支由1个点；

图（3）除中间一个点外，有三个分支，每个分支由2个点；

图（4）除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3个点，

则第个图形中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，第个图形中有个点，

故第8个图形中有个点．

故答案为：57．

14．函数的最小值为      .

【答案】

【分析】由题得出定义域，对其求导，由，函数单调递减；，函数单调递增，表示出单调性，进而求得最小值.

【详解】由题可知，函数的定义域为(0,+∞)，求导数可得

令,可得

当0<x<时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；

所以在时，函数取得最小值，为

故答案为：

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于简单题.

15．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，当运动员的滑雪路程为时，此时的滑雪速度为      m/s.

【答案】

【分析】先可由滑雪路程算出滑雪时间为，再利用导数求得此时的滑雪速度.

【详解】因滑雪路程为，又，

则，解得或（舍去），

则此时滑雪速度为末的瞬时速度，即，

因为，所以，故.

故答案为：.

四、双空题

16．等差数列的前项和为，已知，，则      ，的最大值为      .

【答案】         

【分析】设公差为，根据题意及等差数列求和公式得到方程组，解得、，即可求出通项公式及，则，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最大值.

【详解】设公差为，由，，即，

解得，所以，

则，所以，

令，则，

所以当或时，当时，

所以在，上单调递减，在上单调递增，所以在处取的极大值，

又，当时，当时，

则，

所以当时取得最大值，即.

故答案为：；

五、解答题

17．已知数列的前项和为，，求通项公式.

【答案】

【分析】根据条件，利用与间的关系即可求出结果.

【详解】因为，

当时，

时，

又∵，即不满足上式，

所以.

18．已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)求曲线过坐标原点的切线方程.

【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间

(2)或.

【分析】（1）求导，分别解不等式和，即可得解；

（2）设切点坐标为，结合导数的几何意义，写出切线方程，构造关于和的方程组，解之即可．

【详解】（1）函数定义域为，则，

令，则或，所以的单调增区间为和；

令，则，所以的单调减区间为．

（2）设切点为，因为切点在曲线上，所以，，

所以在点处的切线方程为.

因为切线过原点，所以，整理得：，解得或.

当时，切点为，，切线方程为；

当时，切点为，，切线方程为.

所以切线方程为或.

19．在公差不为零的等差数列中，且，，成等比数列．

(1)求通项公式；

(2)令，求数列的前项和；

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质列方程可求首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）求得，由裂项相消法求和即可．

【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，

，，成等比数列，

，

，

又，

，解得，

，；

（2）由（1），可得

，

．

20．已知数列满足，，

(1)求通项公式；

(2)令，求数列前项的和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用构造法求解作答.

（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）在数列中，，则，而，

因此是以4为首项，2为公比的等比数列，，

所以.

（2）由（1）知，，

，

则有，

则

，

所以.

21．已知函数

(1)当时，求，的最大值和最小值.

(2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出导函数，确定单调性后可得极值，再计算出区间端点处函数值后比较得最值；

（2）问题转化为在上有两个不等的实根，再转化为二次方程在上有两个不等的实根，然后由二次方程根的分布知识可得．

【详解】（1）当时，，，

，

当时，，单调减；当时，，单调增，

则当时，有极小值，即，

当时，，当时，，，

∴；

（2）在上有两个不同的极值点，，即

在上有两个不同解，

即在上有两个不同解，

令，则在上有两个不同解，对称轴为，

由根的分布可得，

∴   即．

22．已知函数，

(1)求函数的极值点；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极大值点为，无极小值点；

(2).

【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再探讨导数值大于0和小于0的x范围作答.

（2）由给定不等式，构造函数，再借助导数求出函数最大值作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

当时，，当时，，

因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以的极大值点为，无极小值点.

（2）设，，依题意，，

求导得，令，，

显然函数在上单调递减，又，，

则，使得，即，有，即，

因此当时，，即，则单调递增，

当时，，即，则单调递减，

从而，解得，

所以实数的取值范围是.