2022-2023学年福建省厦门市湖里区双十中学高二下学期6月月考数学试题含答案

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2022-2023学年福建省厦门市湖里区双十中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题
1．等差数列中，，则的前9项和为（    ）
A． B． C．90 D．180
【答案】C
【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
2．某调查机构对某地区互联网行业进行了调查统计，得到如下该地区的互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计知该地区互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从该地区互联网行业从业人员中选出1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（    ）

（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．）
A．0.28 B．0.34 C．0.56 D．0.61
【答案】B
【分析】记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件，根据统计图求得，，再根据条件概率的定义即可求解.
【详解】记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件，
记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件，
由统计图可知，，
所以，
所以若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为.
故选：B
3．过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.
【详解】如图所示，圆心为，连接，
  
因为直线，关于对称，所以垂直于直线，
故，而，
所以.
故选：C
4．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（    ）
A．      B．  
C．   D．  
【答案】C
【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.
【详解】令，
求导得
，
当时，由解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，
由于，
可得，当时，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C．
5．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据候车人数为2和3的概率相等求出参数，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.
【详解】由题意可知，即解得，
所以，
从而，
故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为.
故选：D
6．已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形，

由圆的性质可知，则即为二面角的平面角，
故，
四面体的体积为
，
其中
，当且仅当时取等号，
由球的截面性质，，，
所以四点共圆，则有外接圆直径，
从而，
.
故选：C
7．函数的一个极值点是1，则的值（    ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．恒等于0 D．不确定
【答案】B
【分析】由得出，令，利用导数证明，从而得出恒小于0.
【详解】，是的极值点，，
即，令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，故，
故，即恒小于0.
故选：B.
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的解析式，根据与的内心求出的关系式和点的横坐标，设出直线的倾斜角，得到的表达式，即可求出的取值范围
【详解】由题意，
在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，
∴，解得：，
∴
∴双曲线的方程为.
  
记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，，，
由，即，
得，即，
记的横坐标为，则，
于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），
在中，
，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
∴，即，
∴的范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B．运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点
C．相关系数r越大，y与x相关的程度就越强
D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系
【答案】BD
【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C；
【详解】对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误；
对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确；
对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误；
对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确.
故选：BD.
10．已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（    ）
A．
B．展开式中的系数为
C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32
D．展开式中二项式系数最大的项为
【答案】ACD
【分析】赋值法求得，根据二项式定理求展开式通项，结合二项式系数性质求的系数、奇数项的二项式系数和、二项式系数最大的项.
【详解】令，则，可得，A对；
，
当时，，B错；
由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；
由上知：二项式系数最大为，即，则，D对.
故选：ACD
11．已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（    ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
【答案】BD
【分析】利用已知解出得到椭圆方程，由离心率的公式计算结果验证选项A；利用椭圆定义计算验证选项B；通过联立方程组求切线方程验证选项C；运用点差法验证选项D.
【详解】的面积最大值是，则，椭圆方程.
，椭圆离心率，A选项错误；
若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；
点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆方程消去y得，
由，解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，都在椭圆上，有和，
两式相减得，，，
，D选项正确.
故选:BD.
12．如图，已知圆柱母线长为，底面圆半径为，梯形内接于下底面，是直径，//，，点在上底面的射影分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（    ）
  
A．若面交线段于点，则//
B．若面过点，则直线过定点
C．的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线，与下底面圆所成角分别为，，则
【答案】ABD
【分析】对A：先证//面，再利用线面平行的性质，即可判断；
对B：根据共面，且面，即可判断；
对C：取点与点重合，以及点与中点重合两个位置，分别计算三角形周长，即可判断；
对D：根据题意，找到线面角，得到，结合余弦定理、基本不等式求的范围，即可判断结果.
【详解】对A：由题可得//面，面，故//面；
又//面，面，故//面；
面，故面//面；
又面，故//面；
又面，面面，故可得//，A正确；
对B：根据题意，共面，
又分别为上的动点，故直线面；
不妨设直线与平面的交点为，
若要满足与共面，则直线必过点，又为定点，故B正确；
对C：设的周长为，
当点与重合时，
；
当点与中点重合时，连接：
  
此时
；
显然周长不为定值，C错误；
对D：过作底面圆垂线，垂足为且在下底面圆周上，即面，
连接，则、分别是直线，与下底面圆所成角，
    
所以，，则，，
所以，而，，底面圆半径为，
若在对应优弧上时，则，
所以，仅当时等号成立，
此时，
若在对应劣弧上时，则，
所以，仅当时等号成立，
此时，
综上，，故，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：面面平行的性质、直线与平面的位置关系、动点问题以及线面角的求解；其中关于D选项中对范围的求解，将空间问题转化为平米问题进行处理，也可以直接建立空间直角坐标系进行处理；同时关于C选项中的定值问题，选取特殊位置验证，不失为一种较好的做题技巧。

三、填空题
13．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为 .
【答案】150
【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可.
【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，
第一类：仅要好的两位女生去同一景点；
第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，
总方法数为.
故答案为：150.
14．已知函数的导函数为，且是偶函数，，.写出一个满足条件的函数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】结合导数公式写出一个满足条件的函数即可.
【详解】因为是偶函数，
设，则，
由题意可知，，解得，
故.
故答案为：.
15．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为 .
【答案】
【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，，
记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到3号球的事件为B，
．
故答案为:
16．斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第 项．
【答案】
【分析】利用递推关系，将所求关系式中的“”换为，再利用即可求得答案．
【详解】由可得

.
故答案为：.

四、解答题
17．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足且.
  
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用累加法求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）（1）因为，所以，
所以当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（2）由，
所以.
18．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．
    
(1)若平面平面，证明：；
(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）先证明，根据线线平行判定定理平面，再由线面平行性质定理证明线线平行；
（2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解.
【详解】（1）在图1中，因为，，，
所以，，又，
所以，
因为，，
所以，故，
  
在图2中，因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，所以；
（2）由（1）知，，，
，平面，平面,
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故以为坐标原点，分别为轴，
在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
  
则，，
因为，平面AEB平面BCE，且，
所以点在平面的射影为中点，故，，
设，则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
不妨令，则，，
所以为平面的一个法向量．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以为中点，所以.
19．某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.
  
(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表

年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户



不常使用直播销售用户



合计



(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中，．

【答案】(1)列联表见解析，能
(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析

【分析】（1）由题意填写列联表，计算，对照附表得出结论．
（2）计算方案一、方案二的期望与方差，比较即可得出结论．
【详解】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，
其中年轻人有人，非年轻人人，
由图1知，样本中的年轻人有人，
不常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，非年轻人人，
补充完整的列联表如下，

年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
90
30
120
不常使用直播销售用户
70
10
80
合计
160
40
200
计算，
依据小概率值的独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
，
方案二：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
，
所以，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，
所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
20．如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．
  
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积．
【答案】(1)
(2)64

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）根据题意联立方程结合韦达定理求点Q的坐标，根据切线结合判别式求相应参数值，进而可得结果.
【详解】（1）由题意可知：抛物线C的焦点，
将代入抛物线C的方程得：，
且，则，
因为△OAF的面积为，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）可得抛物线C的方程为，焦点，
设直线，
联立方程，消去x得，
则，可得，
因为点在抛物线上，则，即，
所以直线的方程为，
联立方程，消去x得，
可得，即，
则，即，
因为，可设，
代入得，即，
所以，
联立方程，消去x得，
因为为抛物线C的切线，则，
整理得，解得，
又因为，，
可得，
即，，
可得，
点到的距离，
所以△MNQ的面积.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
21．研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（）
4
7
8
9
14
12
新增感就诊人数y（位）






参考数据：，
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据： ，

【答案】(1)的分布列见解析；
(2)15

【分析】（1）首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率计算出，从而得到随机变量X的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和数学期望；
（2）首先根据样本相关系数和已知条件计算出，进一步计算可得，利用最小二乘法计算出请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，从而得到线性回归方程，将代入可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的可能取值为，且服从超几何分布，其中，
，，，
的分布列为

0
1
2




数学期望为；
（2）因为，所以，所以，
由于，
所以，所以，
因为，，
解得，所以，所以，
当时，，
据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数为.
22．已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析

【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值；
（2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；
（3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得
【详解】（1）因为，所以.
所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，
所以，解得..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
（3）
定义域为
当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当时，
在（0，）上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
函数存在两个零点的必要条件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一个零点（）.
当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，
综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.
不妨设两个零点
由，所以，
所以，所以，
要证，
只需证，
只需证，
由，
只需证，
只需证，
只需证，
令，只需证，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，
即成立，
所以成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧.