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    海南省琼海市嘉积中学2023届高三高考模拟预测数学试题(含解析)

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    这是一份海南省琼海市嘉积中学2023届高三高考模拟预测数学试题(含解析),共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    海南省琼海市嘉积中学2023届高三高考模拟预测数学试题
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

    一、单选题
    1.已知,,则在复平面内所对应的点位于(    )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    2.集合的子集个数为(    )
    A.2 B.4 C.8 D.16
    3.已知向量,若,则(   )
    A. B. C. D.
    4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸(注:1尺=10寸)时,平地的降雨量是(    )
    A.9寸 B.6寸 C.4寸 D.3寸
    5.已知抛物线上的点到其焦点的距离为4,则(    )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    6.东莞市同沙生态公园水绕山环,峰峦叠嶂,是一个天生丽质,融山水生态与人文景观为一体的新型公园.现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游,分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩.记事件:甲和乙至少一人选择映翠湖,事件:甲和乙选择的景点不同,则条件概率(    )
    A. B. C. D.
    7.已知,且,则(    )
    A. B. C. D.1
    8.已知将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称,若,且,则(    )
    A.2 B. C.1 D.

    二、多选题
    9.已知条件p:;条件q:.若p是q的必要条件,则实数a的值可以是(    )
    A. B. C. D.
    10.设是公比为正数等比数列的前n项和,若,,则(    )
    A. B.
    C.为常数 D.为等比数列
    11.已知函数,则(    )
    A.函数的图像可由的图像向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度得到
    B.函数的一个对称中心为
    C.函数的最小值为
    D.函数在区间单调递减
    12.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图正方体的棱长为2,点是该正方体的侧面上的一个动点(含边界),且平面,,分别是棱,的中点,则下列结论正确的是(    )

    A.直线与直线不可能垂直
    B.三棱锥的体积为定值
    C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
    D.阳马的外接球与内切球的半径之比为

    三、填空题
    13.已知随机变量服从,若,则 .
    14.过点作圆的切线有且只有一条,则该切线的方程是 (用一般式表示).
    15.已知分别是双曲线的左、右焦点,点是双曲线的右顶点,点在过点且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则双曲线的离心率为 .

    四、双空题
    16.已知关于x的方程.当时,方程的实数根为 .若方程在内有两个不等的实数根,则a的取值范围是 .

    五、解答题
    17.已知,,分别为内角,,的对边,且.
    (1)求的值;
    (2)若面积为,求边上的高的最大值.
    18.已知在等差数列中,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设是数列的前项和,求.
    19.如图,在长方体中,,点分别是的中点,点为棱上一点,且直线和所成的角为.

    (1)求证:∥平面;
    (2)求点到平面的距离.
    20.根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策,中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活,培养良好的阅读习惯,在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”,号召全村少年儿童积极读书,养成良好的阅读习惯,下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计:
    年份
    2016
    2017
    2018
    2019
    2020
    年份代码
    1
    2
    3
    4
    5
    每周人均读书时间(小时)
    1.3
    2.8
    5.7
    8.9
    13.8
    现要建立关于的回归方程,有两个不同回归模型可以选择,模型一:;模型二:,即使画出关于的散点图,也无法确定哪个模型拟合效果更好,现用最小二乘法原理,已经求得模型一的方程为.
    (1)请你用最小二乘法原理,结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程(计算结果保留到小数点后一位);
    (2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好,已经计算出模型一的残差平方和为.
    附:参考数据:,其中,.
    参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
    21.已知椭圆的右焦点为,A、B分别是椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,的面积为.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设直线与椭圆交于不同的两点,,点,若直线的斜率与直线的斜率互为相反数,求证:直线过定点.
    22.已知函数
    (1)当时,求函数的极值;
    (2)当时,恒成立,求实数的取值范围.

    参考答案:
    1.D
    【分析】利用复数的除法法则计算出,得到其所在象限.
    【详解】,
    故所对应的点的坐标为,位于第四象限.
    故选:D
    2.B
    【分析】确定,再计算子集个数得到答案.
    【详解】,故子集个数为.
    故选:B
    3.A
    【分析】根据向量共线的规则求出x,再根据向量的坐标运算规则求解.
    【详解】 , ;
    故选:A.
    4.D
    【分析】根据圆台的计算公式求解.
    【详解】
    如图所示,由题意知天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸,
    由积水深9寸知水面半径为 (14+6) = 10寸,
    则盆中水体积为  (立方寸),所以平地降雨量为 3(寸);
    故选:D.
    5.D
    【分析】先利用点在抛物线上,得到,再结合条件和抛物线的定义即可得出结果.
    【详解】因为点在上,所以,得到,又点到其焦点的距离为4,根据抛物线定义知,,得到,
    故选:D.
    6.C
    【分析】分别求出事件A,事件B对应基本事件的个数,再结合条件概率公式即可解得.
    【详解】甲和乙至少一人选择映翠湖对应的基本事件有个,
    ∵甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有个,
    ∴.
    故选:C.
    7.B
    【分析】据二倍角公式,两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
    【详解】,
    ,

    又,则,即
    所以,
    因为,所以,.
    由平方可得,即,符合题意.
    综上,.
    故选:B.
    8.B
    【分析】由题意得函数关于对称,即,结合,可得函数的周期为2,再根据,求出的值.
    【详解】因为将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称,
    所以函数关于对称,即,即;
    又因为,所以,
    即,所以,
    因为,所以,即,
    所以由,得,
    即,所以函数的周期为2,
    则,
    由,得.
    故选:B.
    9.BC
    【分析】根据p是q的必要条件得出的取值,结合选项可得答案.
    【详解】由,得或,
    由,得.
    因为是的必要不充分条件,可知或,解得或.
    故选:BC.
    10.ACD
    【分析】根据等比数列的性质可得公比,进而可得通项公式与,再逐个选项判断即可.
    【详解】设公比为,则,解得,故,
    则,.
    对A,,故A正确;
    对B,,故B错误;
    对C,为常数,故C正确;
    对D,,,故为等比数列,故D正确;
    故选:ACD
    11.CD
    【分析】化简得,逐项验证即可解决.
    【详解】由题知,

    对于A,的图像向左平移个单位长度,得,
    再向下平移个单位长度得到,故A错误;
    对于B,,
    所以函数的一个对称中心为,故B错误;
    对于C,,
    当时,函数取最小值为,故C正确;
    对于D,,
    所以单调减区间应满足,解得,
    所以单调减区间为,
    因为,
    所以函数在区间单调递减,故D正确.
    故选:CD
    12.BCD
    【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量即可判断A和C;根据平面即可判断B;利用等体积法即可判断D,从而得出答案.
    【详解】以为原点,以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
    因为正方体的棱长为2,,分别是棱,的中点,
    所以 ,,,
    则,,
    设平面的一个法向量为,
    则,取,则,
    因为点是该正方体的侧面上的一个动点(含边界),
    所以设点,其中,则,
    对于A:因为平面,
    所以,即,得,
    所以,
    所以,
    因为,
    所以,
    当时,,即直线与直线垂直,故A错误;
    对于B:设点到平面的距离为,
    则三棱锥的体积为,
    又因为平面,
    所以点到平面的距离为定值,
    又因为为定值,
    所以三棱锥的体积为定值,故B正确;
    对于C:由上述结论得,,
    平面的一个法向量为,
    直线与平面所成角的正弦值为,
    因为,
    所以,
    所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为,故C正确;
    对于D:易得阳马的外接球的直径为,
    所以外接球半径,
    易得,,,,,
    由等体积法得
    即,
    解得,
    所以,故D正确,
    故选:BCD.

    13./
    【分析】利用正态曲线的对称性可求得的值.
    【详解】因为,则.
    故答案为:.
    14.
    【分析】由题意可知,点即为切点,切线与过该点的半径垂直,则切线斜率可求,从而可以写出切线方程.
    【详解】设切线方程为,因为过点作圆的切线有且只有一条,则在圆上,切点与圆心连线的斜率,所以切线的斜率为,则切线方程为,化简得.
    故答案为:
    15.
    【分析】作出辅助线,得到,求出,求出离心率.
    【详解】由题知,过作轴于,则,


    ,解得,

    故答案为:
    16.
    【分析】第一空:化简方程转化为的零点问题,利用导数判断其单调性即可;
    第二空:化简方程为函数与函数在上有两个交点,结合直线的斜率与图象即可得到结果.
    【详解】当时,原方程
    令,易知在上单调递增,在上单调递减,又,故只有一个根;


    问题转化为:函数与函数在上有两个交点,
    显然是其中一个交点,
    又由上知时只有一个交点,不符要求;
    显然时两函数只有一个交点,不符要求;
    当时,更平缓,由图象可得其与在存在一个交点,符合要求;
    当,更陡峭,由图象可得当时两函数交点横坐标超过,符合要求;

    故答案为:;
    17.(1)
    (2)

    【分析】(1)由正余弦定理边角转化即可求解,
    (2)由三角形面积公式,结合基本不等式即可求解最值.
    【详解】(1)∵,∴,
    ,,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    (2)由面积为得:,而,

    ∵边上的高为,
    ∴,则,
    ∵,
    ∴,当且仅当时,取“=”,
    即的最小值为2.此时最大为.
    18.(1)
    (2)

    【分析】(1)设等差数列的公差为,由已知条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,即可求出数列的通项公式;
    (2)化简数列的表达式,利用等差数列的求和公式可求得的值.
    【详解】(1)解:设等差数列的公差为,则,解得,
    所以,.
    (2)解:.
    因此,.
    19.(1)证明见解析
    (2)

    【分析】(1)由正方体的性质可知,,即可证得线面平行.
    (2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量与一个方向向量,代入公式即可.
    【详解】(1)在长方体中,

    ∴直线和所成的角,
    ∴直角三角形为等腰直角三角形,
    ,故点为棱的中点.
    连接故.
    又平面平面,
    平面
    (2)
    (2)以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,

    则,
    设平面的法向量为,则,
    即所以令,得:,
    所以是平面的法向量,
    设到平面的距离为,

    ∴所以点到平面的距离为.
    20.(1);
    (2)模型二的拟合效果更好.

    【分析】(1)首先换元令,先求得和,再根据数据和参考公式求得模型二的方程;
    (2)利用残差公式,求模型二的残差,比较大小,即可判断.
    【详解】(1)令,则模型二可化为关于的线性回归问题,则
    ,,
    则由参考数据可得,

    则模型二的方程为;
    (2)由模型二的回归方程可得,,
    ,,,

    ∴,
    故模型二的拟合效果更好.
    21.(1)
    (2)证明见解析

    【分析】(1)由题可得,据此可求得椭圆方程;
    (2)将直线方程与椭圆方程联立,后由韦达定理结合,可得m与k的关系即可得直线恒过的定点.
    【详解】(1)由题知,,,,
    由的面积为,得,
    又,代入可得,,∴椭圆的方程为.
    (2)联立得,
    设,,可得,,
    由题知,
    即,
    即,解得,
    ∴直线的方程为,故直线恒过定点.
    22.(1)极小值为,无极大值
    (2)

    【分析】(1)首先求函数的导数,判断导数的单调性,根据导数的零点,判断函数的单调性,即可求解函数的极值;
    (2)由不等式参变分离为在恒成立,构造函数后,利用导数求函数的最值,即可求参数的取值范围.
    【详解】(1)当时,,             
    则在上单调递增,因为,
    所以,,单调递减,
    ,,单调递增,
    所以函数的极小值为,无极大值.
    (2)令,则即,因为
    即在时恒成立,                     
    令,
    ,故单调递增,             
    所以,故.

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