运城市康杰中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

运城市康杰中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、从甲乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲乙不同时入选有____种情况(   )

A.3 B.5 C.7 D.9

2、二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，的系数为(   )

A.10 B. C. D.

3、有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(   )

A. 48种 B. 36种 C.24种 D. 12种

4、自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818，若用欧拉数的前6位数字2,7,1,8,2,8设置一个6位数的密码，则不同的密码有_____个(   )

A. 180 B. 240 C. 360 D. 720

5、已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为(   )

A.  B.  C.  D.

6、图1是中国古代建筑中的举架结构,,，，是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中，，，是举,，，，是相等的步,相邻桁的举步之比分别为，，，.已知，，成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则(   )

A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

7、已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为(   )

A.- 2 B.- 3 C.- 1 D.0

8、已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知，下列命题中，正确的有(   )

A.展开式中所有项的二项式系数的和为

B.展开式中所有项的系数和为-1

C.展开式中所有奇数项系数的和为

D.

10、第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有(   )

A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙不相邻，则有48种不同的站法

C.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

11、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，， ，，M为PD的中点，则(   )

A.

B.异面直线与所成角的余弦值为

C.直线与平面PBC所成角的余弦值为

D.点M到平面PBC的距离为

12、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆C上的动点M作椭圆的两条切线，分别与圆C交于P，Q两点，直线交椭圆于A，B两点，则下列结论中正确的是(   )

A.椭圆的离心率为

B.面积的最大值为

C.M到的左焦点的距离的最小值为

D.若动点D在上，将直线DA,DB的斜率分别记为，则

三、填空题

13、抛物线的焦点坐标为__________.

14、已知展开式的二项式系数和为512，.则=_______.

15、从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成四面体的概率为_______.

16、若为定义在R上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则m的取值范围___________.

四、解答题

17、用0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成多少个：

（1）无重复数字的四位偶数？

（2）无重复数字且个位数字不是5的六位数？

（3）无重复数字的六位数，若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则243015是该数列的第几项？

18、在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为.

（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；

（2）展开式中系数最大的项是第几项？

19、设数列满足.

（1）求，，，试猜想的通项公式，并证明；

（2）求数列的前n项和.

20、如图，在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，,.

（1）证明：平面平面ABC；

（2）若，则在棱PA上是否存在动点M，使得平面MBC与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点M的位置；若不存在，说明理由.

21、已知椭圆的上顶点为P，右顶点为，其中的面积为1（O为原点），椭圆C的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且直线AP与直线BP斜率之和为2，求证：直线l过定点.

22、已知函数,其中,.

（1）函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；

（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案： C

解析：若随机选3名, 则有 种情况, 其中甲乙 同时入选有 种情况, 甲乙不同时入选有 种情况.

故选: C.

2、答案： B

解析：

3、答案： C

解析：因为丙丁要在一起, 先把丙丁㧽绑, 看做一个元素, 连同乙,戊看成三个元素排列,有 3 ! 种排列方式; 为使甲不在 两端, 必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个 位置揷人,有 2 种揷空方式; 注意到丙丁两人的顺序可交换, 有2种排列方式,故安排这 5 名同学共有: 3 ! 种不同的排列方式. 故选C.

4、答案： A

解析：:因为 2 出现 2 次， 8 出现2次，

不同的密码有 个.

故选: A.

5、答案： A

解析：因为,

由双曲线的定义可得 ,

所以，;

因为, 由余弦定理可得, 整理可得 , 所以, 即.

故选: A

6、答案： D

解析：如图，连接OA，延长与x轴交于点，则.因为，，成公差为0.1的等差数列，所以，，所以，，，即，，.又，所以，所以，所以，解得，故选D.

7、答案： D

解析：由题意可得正方体外接球的直径 ，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，且，

，

由 ， 的最大值为.

故选︰D.

8、答案： B

解析：，

因为函数有两个不同的极值点，，

所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有，解得.

因为不等式恒成立，所以恒成立.

，

设，，故在上单调递增，

故，所以.因此实数t的取值范围是.     故选：B

9、答案： ABC

解析：

10、答案： ACD

解析：

11、答案： AD

解析：

12、答案： ACD

解析：依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，

所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；

因为点M，P，Q都在圆C上，且，所以PQ为圆C的直径，所以，

所以面积的最大值为，故B不正确；

设，的左焦点为，连接MF，

因为，所以，

又，所以，所以

则M到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；

由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，

设，，则，，，

又，所以，所以，所以，故D正确

故选：ACD.

13、答案：

解析：将抛物线方程变形可得: ,

,,

则焦点为 .

14、答案： -144

解析：因为展开式的二项式系数和为512，

所以，解得，

因为，所以

15、答案：

解析：

16、答案： .

解析：，，

设，则，为奇函数，

又，在上是减函数，从而在上是减函数，

又，等价于，即，

，解得.

17、答案：（1）156

（2）504

（3）205

18、答案：（1），第17项

（2）第7项和第8项

解析：（1）二项式展开式的通项公式为.

因为第3项和第4项的系数比为，所以，

化简得，解得，所以.

令，得，所以常数项为第17项.

（2）设展开式中系数最大的项是第项，则，

解得. 

因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项.

19、答案： （1），，，，证明见解析

（2）

解析：（1）因为，

当时，

当时，，可得，

当时，，可得，

所以猜想数列的通项公式为，

证明如下：由题意，当时，，，得，所以，

当时，上式为，这就是说，当时，上式也成立.

因此，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，记的前n项和为，

则，故，

，得，，

所以数列的前n项和为.

20、答案：（1）证明详见解析

（2）存在，且M是线段AP上，靠近点的三等分点.

解析：（1）设D,E分别是AC,BC的中点，连接PD,DE,PE，

则，由于，所以，

由于三角形PAC是等边三角形，所以，

由于，所以，

由于,DE,平面PDE，

所以平面PDE，由于平面PDE，所以，

由于,AC,平面ABC，所以平面ABC，

由于平面PAC，所以平面平面ABC.

（2）由（1）可知平面平面ABC，

以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

，则，,

所以，,

，设，

平面ABC的一个法向量是，

，

设平面MBC的一个法向量是，

则，

故可设，

若平面MBC与平面ABC的夹角为，

则，即，

解得（负根舍去），

则，，

所以M是线段AP上，靠近P点的三等分点.

21、答案：（1）

（2）故直线l过定点

解析：（1）由已知得：，，又，

解得：，，

故椭圆C的方程为.

（2）证明：当直线l的斜率不存在时，不满足的条件.

当直线l的斜率存在时，设l的方程为，

联立，消去y整理得：，

，得①

设，，

则，②

③

由，得，

所以

将②③代入得，满足①

此时l的方程为，故直线l过定点.

22、答案：（1）,不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点

（2）

解析：（1）设,定义域,

,

当时,恒成立，所以在单调递增,

所以不存在极值点,

当时,令，

当时,，

当时,，所以在单调递减,在单调递增，

所以函数存在一个极小值点,无极大值点,

综上：时，不存在极值点，

时，存在一个极小值点，无极大值点;

（2）由题知原不等式，可化为,

当时,恒成立,

当时，即,

由(2)知在有最小值, 所以, , ,

,，即, 

,，

综上: .